Метод множителей Лагранжа при наличии связи в виде урчп

[VanD]

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, где можно почитать о том, в каких случаях применим метод множителей Лагранжа при наличии связей в виде уравнений в частных производных.
Меня интересует следующая постановка вопроса:
пусть есть гладкое локально тривиальное векторное расслоение $\pi\colon E\to M$ с компактной базой. На модуле его гладких ($=$ бесконечно дифференцируемых) сечений $\Gamma(\pi)$ задано действие

$$ S\colon \varphi \mapsto \int_M L(x, \varphi, \partial \varphi, \ldots)\,d^n x\,. $$

Кроме того, пусть есть связь в виде (системы) урчп

$$ F(x, \varphi, \partial \varphi, \ldots) = 0\,. $$

Скажем, что $\sigma\in \Gamma(\pi)$ -- условно-стационарная точка $S$, если условие стационарности

$$ \dfrac{d}{d\tau}\Big|_{\tau = 0} S(\gamma(\tau)) = 0 $$

выполнено при любых гладких отображениях $\gamma\colon \mathbb{R}\times M\to E$, таких что $\gamma(0, \cdot) = \sigma$ и все $\gamma(\tau, \cdot)$ являются гладкими сечениями, удовлетворяющими связи. Если у $M$ есть непустой край, дополнительно потребуем, чтобы в каждой точке $P\in \partial M$ выполнялось:
$\gamma(\tau, \cdot) = \gamma(0, \cdot)$ и все частные производные $\gamma(\tau, \cdot)$ равны соответствующим производным от $\gamma(0, \cdot)$.

Под методом множителей Лагранжа я понимаю исследование функционала

$$ (\varphi, \lambda) \mapsto \int_M \Big(L(x, \varphi, \partial \varphi, \ldots) + \lambda F(x, \varphi, \partial \varphi, \ldots)\Big)\,d^n x $$

с помощью уравнений Эйлера-Лагранжа. Понятно, что любое их (гладкое) частное решение $(\varphi_{\text{ч}}(x), \lambda_{\text{ч}}(x))$ определяет условно-стационарную точку $\varphi_{\text{ч}}$ (для $S$), но не понятно, каждой ли условно-стационарной точке можно сопоставить какой-нибудь множитель $\lambda = \lambda(x)$ так, чтобы соответствующая пара стала решением этих уравнений Эйлера-Лагранжа.

Хотелось бы понять, при каких условиях на $L$ и $F$ метод множителей Лагранжа заведомо даёт все условно-стационарные точки, но обсуждение этого в литературе мне не попадалось. Что можно посмотреть на эту тему?

[Padawan]

Алексеев, Тихомиров, Фомин Оптимальное управление смотрели?

[VanD]

Посмотрел, спасибо!
Видимо, наиболее близкая постановка задачи у них содержится в разделе
3.2.2. Правило множителей для гладких задач с равенствами.
Навскидку она всё-таки далека от интересующей меня.