Условная вероятность, интуиция и сумасшедшие старушки

[Sdy]

Вопрос 1. Корректность нахождения условной вероятности не по определению.

Пусть у нас есть вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$.

По определению, условной вероятностью мы называем функцию $\mathbb{P}_B(\cdot) : \mathcal{F} \to \mathbb{R},$ такую что для всякого $A \in \mathcal{F}$

$$ \mathbb{P}_B(A)\triangleq \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} $$

Чаще условную вероятность обозначают как $\mathbb{P}(A|B)$.
Несложно видеть, что эта функция действительно является вероятностной мерой на измеримом пространстве $(\Omega, \mathcal{F}),$ то есть $\mathbb{P}_B(\Omega )=1,$ $\forall A \in \mathcal{F} \quad 0 \leq \mathbb{P}(A) \leq 1$ и также она сигма-аддитивна.

То есть с точки зрения теории условная вероятность это вероятностная мера на исходном измеримом пространстве.

Но в практических приложениях часто смотрят на условную вероятность с бытовой точки зрения, как на вероятность одного события, при условии что другое произошло, и находят её не из определения, а на основе интуиции и условия задачи.
Приведу пару примеров, с моим пониманием того, почему "так можно".

Пример 1.

Пусть в качестве эксперимента мы подбрасываем правильный шестигранный кубик, то есть $\Omega =\{1,2,3,4,5,6 \}$,

$\mathcal{F} = 2^{\Omega},$

$\mathbb{P}(A) = \dfrac{\#A}{\#\Omega},\quad \forall A \in \mathcal{F}.$

Пусть событие $B = \{\text{Выпало число, делящееся на $3$}\}=\{3,6\}.$

Событие $A = \{

Тогда $\mathbb{P}(A|B)$ часто ищут так : раз выпало число делящееся на три, то это одно из чисел $\{3,6\}$, тогда так как в исходном вероятностном пространстве эти исходы были равновозможны, то и в новом вероятностном пространстве исходы должны быть равновозможны, поэтому $\mathbb{P}(A|B) = \frac{1}{2}.$

Можно посчитать эту вероятность честно, по определению :

$$ \mathbb{P}(A|B) = \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\dfrac{\frac{\#A \cap B}{\# \Omega}}{\frac{\#B}{\#\Omega} }=\dfrac{\# A \cap B}{\# B}=\dfrac{1}{2} $$

Ответы совпадают.

Пример 2.

Пусть у нас есть мешок с $m$ шариками и $n$ кубиками. Эксперимент состоит в том что мы достаём случайно без возвращения два предмета из мешка. Тогда

$\Omega= \{(i,j) : 1 \leq i \leq m+n,1 \leq j \leq m+n, i \ne j \},$

то есть мы различаем шарики между собой, как и кубики, шарики нумеруем от $1$ до $m,$ а кубики от $m+1$ до $m+n.$

$\mathcal{F} = 2^{\Omega},$

$\mathbb{P}(A) = \dfrac{\#A}{\#\Omega},\quad \forall A \in \mathcal{F}.$

Тот факт, что модель — классическая, мы должны были установить из условия задачи.

Пусть $C = \{

$B = \{

$A = \{

Если мы хотим найти $\mathbb{P}(C),$ то можно поступить так :

$$ \mathbb{P}(C)=\mathbb{P}(A \cap B)=\mathbb{P}(A|B)\cdot\mathbb{P}(B) $$

Нужно найти $\mathbb{P}(A|B)$ опять же, минуя определение. Если первый шарик, который мы достали был белый, то в мешке остался $n+m-1$ шарик и из них $m-1$ белый. Раз в исходном пространстве все исходы были равновозможны, то должны быть равновозможны и в новом пространстве, тогда $\mathbb{P}(A|B) = \dfrac{m-1}{n+m-1}$.

А $\mathbb{P}(B) = \dfrac{m}{n+m}$.

Итого,

$$ \mathbb{P}(C)=\mathbb{P}(A \cap B)=\mathbb{P}(A|B)\cdot\mathbb{P}(B)=\dfrac{m-1}{n+m-1} \cdot\dfrac{m}{n+m} $$

Теперь найдём $\mathbb{P}(A \cap B )$ другим способом.

$$ A \cap B = \{(i,j) : 1 \leq i,j \leq m, i \ne j \} $$

$$ \mathbb{P}(A \cap B ) =\dfrac{\# A \cap B}{\#\Omega}=\dfrac{m(m-1)}{(n+m) \cdot (n+m-1)} $$

Отсюда можно найти $\mathbb{P}(A|B)$, честно, по определению, ответы опять совпадут.

Вопросы.
1. Всё ли верно в моих измышлениях выше?
2. Верно ли я понимаю, что нахождение условной вероятности минуя её определение, это просто использование того что $\mathbb{P}_B(A) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} = \frac{\# A \cap B}{\# B}$, что верно в силу того что у нас исходная вероятностная мера классическая?
3. Этот самый способ нахождения условной вероятности, минуя её определение, работает только когда исходы равновозможны? По крайней мере я не вспомнил пока других примеров.
4. Может быть, кто-то может дать ещё какие-то комментарии по этому поводу. Меня интересует именно момент формализации вот таких вещей в рамках аксиоматики Колмогорова, когда условные вероятности находятся не по определению. Просто на лекциях (мехмата МГУ или там ФКН ВШЭ) часто сначала даётся определение условной вероятности, а потом разбор какой-нибудь задачи, наподобие задачи про безумную старушку (у меня про неё тоже есть вопрос), где условная вероятность находится из каких-то интуитивных убеждений. Я решал эту задачу раза $4$ уже и каждый раз у меня некоторый диссонанс происходит. Захотелось понять этот момент глубже.

[realeugene]

Sdy в сообщении #1612951 писал(а):

$\mathbb{P}(A) = \dfrac{\#A}{\#\Omega},\quad \forall A \in \mathcal{F}.$

У вас конечное множество элементарных событий, и каждому элементарному событию приписана одинаковая вероятность? Тогда так делать, конечно, можно. Но не всё в окружающем нас физическом мире можно моделировать только классическим определением вероятности.

Sdy в сообщении #1612951 писал(а):

наподобие задачи про безумную старушку

Что за задача?

[Doctor Boom]

Sdy в сообщении #1612951 писал(а):

Этот самый способ нахождения условной вероятности, минуя её определение, работает только когда исходы равновозможны?

Не только

realeugene в сообщении #1612962 писал(а):

Что за задача?

Классику не знать

[ozheredov]

Doctor Boom в сообщении #1612980 писал(а):

Классику не знать

Классика - это бабка, севшая в самолет не на свое место. Но это к условной вероятности не имеет отношения. Так что присоединяюсь к вопросу:

realeugene в сообщении #1612962 писал(а):

Что за задача?

[Sdy]

realeugene в сообщении #1612962 писал(а):

Но не всё в окружающем нас физическом мире можно моделировать только классическим определением вероятности.

Да, это понятно, но адекватность модели некоторому эксперименту это уже другой вопрос.

realeugene в сообщении #1612962 писал(а):

Что за задача?

ozheredov в сообщении #1612982 писал(а):

Так что присоединяюсь к вопросу:

Для начала я хотел убедиться, что в моём первом посте нет ошибок, в том числе в разборе примеров, а потом уже задавать следующий вопрос. Просто моё обоснование решения той задачи будет опираться на этот пост и если в нём есть проблемы, мне лучше их увидеть до того как я опишу следующую проблему.

[realeugene]

Sdy в сообщении #1613043 писал(а):

Для начала я хотел убедиться, что в моём первом посте нет ошибок

Проблем вроде не видно, хоть текста много, и хорошо бы понимать, где именно стоит искать.