Несобственный интеграл

[artempalkin]

Такой вот нужно найти интеграл:

$$\int\limits_o^{\infty}\frac{1}{(x+1)^2(\alpha^2+\beta^2x^2)}dx$$

Взять его в целом не то чтобы большая проблема, аккуратно разбить на элементарные дроби. Но с параметрами в знаменателе это не очень удобно. Я пытался придумать какой-то более веселый способ, но пока не получилось. Через вычеты привычным мне способом не получается - функция никакая в плане четности, к тому же на действительной оси у нее есть особенность в $-1$. Какие-то другие контуры не очень я умею строить... Подскажите, найдется ли какой-то приятный способ взять такой интеграл?

[bot]

artempalkin в сообщении #1612164 писал(а):

Взять его в целом не то чтобы большая проблема, аккуратно разбить на элементарные дроби.

Судя по ответу https://www.wolframalpha.com/input?i=in ... 0+to+infty
легкого пути нет. Замена $a=\frac \alpha \beta$ лишь слегка облегчит выкладки.

[мат-ламер]

artempalkin в сообщении #1612164 писал(а):

Взять его в целом не то чтобы большая проблема, аккуратно разбить на элементарные дроби. Но с параметрами в знаменателе это не очень удобно.

Задача решаемая. По крайней мере, у меня в MAPLE получилось это сделать с помощью оператора

convert (f, parfrac, x);

[artempalkin]

мат-ламер в сообщении #1612207 писал(а):

Судя по ответу https://www.wolframalpha.com/input?i=in ... 0+to+infty
легкого пути нет. Замена $a=\frac \alpha \beta$ лишь слегка облегчит выкладки.

мат-ламер в сообщении #1612207 писал(а):

Задача решаемая. По крайней мере, у меня в MAPLE получилось это сделать с помощью оператора

Да, спасибо! Единственное, что пришло мне в голову: если

$$I(\delta)=\int\limits_0^{\infty}\frac{1}{(x+\delta)(a^2+x^2)}dx,$$

то искомый интеграл, наверное, будет $-I'(1)$ (доказывать еще надо, наверное).

[Утундрий]

Что плохого в стандартном способе? В последней модификации ещё и полюса все простые и разложение легко находится. Далее можно не считать само $I$, а продифференцировать по $\delta $ под иетегралом, подставив после этого $\delta =1$. Тогда вся проверка сведётся к приведению к общему знаменателю. Ну а сам ответ выглядит (если не ошибся в алгебре) вполне отвратительно:

$$\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{1-a^2}{a(1+a^2)^2}+\dfrac{ \ln ( a^2)}{(1+a^2)^2}$$

Это что-то важное или тренировки для?

[artempalkin]

Утундрий в сообщении #1612338 писал(а):

Это что-то важное или тренировки для?

Ничего важного, просто ради интереса пытаюсь понять, как взять интеграл. Как я писал, в целом взять его несложно, разложив на эл. дроби, просто муторно.

Утундрий в сообщении #1612338 писал(а):

Что плохого в стандартном способе?

Хммм, может у нас с вами стандартные способы различаются? :) У меня стандартный способ - по действительной оси от $-R$ до $R$, а сверху замкнуть дугой радиуса $R$. А потом устремить $R$ к бесконечности. Здесь не особо выйдет вот по этим причинам:

artempalkin в сообщении #1612164 писал(а):

функция никакая в плане четности, к тому же на действительной оси у нее есть особенность в $-1$.

Но у вас, кажется, какой-то другой стандартный способ...