сумма компонентов собственного вектора

[AndreyL]

Дамы и Господа!

Случайно заметил такую штуку: если в $m$-мерной выборке неотрицательных значений сумма значений в каждом измерении равна 1, то сумма компонентов любого собственного вектора (кроме последнего) ковариационной матрицы равна 0, а сумма компонентов последнего собственного вектора с точностью до знака зависит только от $m$, а точнее равна $\sqrt m$. Есть ли этому какое нибудь обоснование? И неотрицательность значений самой выборки, похоже, необязательна.

[mihaild]

Собственный вектор определяется с точностью до умножения на ненулевой скаляр, поэтому говорить о сумме его компонент бессмысленно. Остается вопрос о том, что сумма компонент всех собственных векторов, кроме одного, равна нулю. Для доказательства вспомните, что у симметричной матрицы есть ортонормированный собственный базис, и подумайте, как в векторном виде записать равенство суммы компонент вектора нулю.

[realeugene]

Вам бы вспомнить линейную алгебру. Что такое матрицы, их ранг, собственные вектора и так далее.

AndreyL в сообщении #1612406 писал(а):

а точнее равна $\sqrt m$

Вангую, что это побочный эффект алгоритма

[AndreyL]

mihaild в сообщении #1612433 писал(а):

Собственный вектор определяется с точностью до умножения на ненулевой скаляр, поэтому говорить о сумме его компонент бессмысленно.

Собственный вектор единичный, т.е. его евклидова норма =1. Все собственные векторы дают матрицу ортогонального преобразования.

[mihaild]

AndreyL в сообщении #1612436 писал(а):

Собственный вектор единичный, т.е. его евклидова норма =1

Ну в такой постановке Вам нужно просто найти этот собственный вектор. Подсказка: он ортогонален любому вектору, у которого сумма координат нулевая.

[AndreyL]

realeugene в сообщении #1612435 писал(а):

Вам бы вспомнить линейную алгебру. Что такое матрицы, их ранг, собственные вектора и так далее.

AndreyL в сообщении #1612406 писал(а):

а точнее равна $\sqrt m$

Вангую, что это побочный эффект алгоритма

Понятно, что ранг такой ковариационной матрицы будет $m-1$. По поводу алгоритма не понял - собственные векторы ковариационной матрицы любым алгоритмом определяются с точностью до знака. По поводу вспомнить линейную алгебру - так нечего вспоминать, нам ее никто не читал, все по учебникам и только те разделы, которые в конкретный момент нужны для работы. Вот и спрашиваю - где об этом можно почитать?

[mihaild]

Кострикин, "Линейная алгебра". Или Винберг, "Алгебра" (всё нужное там есть в главах про собственно линейную алгебру, но доказательства местами ссылаются на главы про общую).
Для данной задачи Вам нужно знать

AndreyL в сообщении #1612436 писал(а):

Все собственные векторы дают матрицу ортогонального преобразования

(точнее что можно выбрать ортонормированный собственный базис)
И угадать один собственный вектор. Тот самый, у которого сумма координат ненулевая.

[realeugene]

AndreyL в сообщении #1612440 писал(а):

собственные векторы ковариационной матрицы любым алгоритмом определяются с точностью до знака

Это после нормировки, если хочется ортонормированного базиса

А, я понял в чём вопрос. У вас собственный вектор нормирован на 1. Сумма квадратов его компонент равна 1. И все $m$ компонентов одинаковые.

AndreyL в сообщении #1612440 писал(а):

По поводу вспомнить линейную алгебру - так нечего вспоминать, нам ее никто не читал, все по учебникам и только те разделы, которые в конкретный момент нужны для работы.

Вот надо улучшить. Вы не чувствуете её простоты.

По поводу учебника: учебник Беклемишева тут ругали, но мне он когда-то зашел.

[AndreyL]

realeugene в сообщении #1612443 писал(а):

А, я понял в чём вопрос. У вас собственный вектор нормирован на 1. Сумма квадратов его компонент равна 1. И все $m$ компонентов одинаковые.

Не понял, почему "все $m$ компонентов одинаковые"?

[realeugene]

AndreyL в сообщении #1612444 писал(а):

Не понял, почему "все $m$ компонентов одинаковые"?

Потому что таково ядро вашей ковариационной матрицы. А почему оно такое - подумайте.

[AndreyL]

Я не понял эту фразу, что значит "все $m$ компонентов одинаковые"? Все компоненты вектора равны?

[realeugene]

AndreyL в сообщении #1612446 писал(а):

Все компоненты вектора равны?

да

[AndreyL]

Все компоненты последнего собственного вектора действительно равны. Уточняю - последний это вектор, соответствующий минимальному собственному значению. Но меня интересуют все остальные, в частности первый - сумма его компонентов всегда равна 0. Из чего это следует?

[mihaild]

AndreyL, прочитайте, пожалуйста, уже написанное, и как-то дайте понять, что прочитали. У Вас есть собственный вектор, все компоненты которого равны. И есть другой собственный вектор, ортогональный первому. Что можно сказать про сумму компонент этого другого вектора?

[realeugene]

AndreyL в сообщении #1612453 писал(а):

Из чего это следует?

Из свойств собственных векторов. Но это настолько базовые свойства, что если вы их не знаете - вам одна дорога читать учебник и вращать в голове при чтении учебника эти $m$-мерные собственные вектора. Если вы работаете с гауссовыми случайными процессами, то линейная алгебра - это тот инструмент, которым вы должны овладеть профессионально.