не могу разобраться с м. стрельбы

[Деблер]

Допустим даны такие условия:
$u''=f(x,u,u')$
$cu(b)+du'(b)=r$
$u'(a)=\beta$

Если я правильно понял в задаче известно под каким углом производится выстрел.
Затем нужно сделать замену
$z=u'$
$z'=u''$
т.е. получится
$z'=f(x,u,z)$
$z(a)=\beta$

далее, не очень понятно, появляется функция
$\psi(\alpha)=cu(b,\alpha)+dz(b,\alpha)-r=0$
и нужно найти из этого уравнения $\alpha$

от куда берется уравнение и какие альфа подставлять?

Зараниее спасибо!

[Brukvalub]

Деблер в сообщении #161223 писал(а):

далее, не очень понятно, появляется функция
$\psi(\alpha)=cu(b,\alpha)+dz(b,\alpha)-r=0$

Ну, так z и есть производная от u, поэтому цитированное мной уравнение и есть первое нач. условие, вот и ищется альфа, при котором это условие выполняется.

[Деблер]

Brukvalub, а $u(b,\alpha)$ нужно найти например методом Рунге-Кутта?

[V.V.]

Цитата:

а $u(b,\alpha)$ нужно найти например методом Рунге-Кутта?

Можно. Вам надо как-нибудь решить две задачи Коши, а потом сделать из них решение краевой задачи.

[Brukvalub]

Деблер в сообщении #161238 писал(а):

Brukvalub, а $u(b,\alpha)$ нужно найти например методом Рунге-Кутта?

Например, этим методом. Но, именно в методе стрельбы могут открыться такие тонкости, которых я и не знаю. Почитайте, например, вот это: http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/7fe69a5abbb9844f4d1ca2477a39a895.djvu Мне помнится, в этой книге я видел метод стрельбы на стр. 111, но особо в нем не разбирался

[Деблер]

V.V.,
$z'=f(x,u,z)$
а решение задачи Коши, нужно получить значение фун. u на отрезке [a,b], а z - известна только в одной точке, как тогда в таком случае решить задачу?

[V.V.]

А нет ли в этой задаче еще какого-нибудь функционала, который надо минимизировать?

[Деблер]

V.V. писал(а):

А нет ли в этой задаче еще какого-нибудь функционала, который надо минимизировать?

Нет, все что есть написал выше.

[V.V.]

А-а-а... Дык, Вы забыли добавить второе уравнение ($u'=z$) в систему.

[ewert]

Деблер в сообщении #161583 писал(а):

а z - известна только в одной точке, как тогда в таком случае решить задачу?

естественно. Решение ДУ 2-го порядка двухпараметрично, а граничное условие в некоторой точке (каким бы оно ни было) выбивает только один параметр. Второй же остаётся свободным, и вот за его счёт и следует подогнать второе условие.

Конкретно у Вас -- граничное условие на левом конце задаёт лишь производную решения. Значение самого решения может быть каким угодно. Вот и поиграйте им. Т.е. позадавайте разные значения самого решения и повычисляйте в каждом случае невязку граничного условия на правом конце. И подберите оптимальное -- методом половинного деления, что ли.

Ничего более конкретного в универсальной ситуации (без знания специфики уравнения) придумать невозможно. Ну, конечно, когда Вы уже локализуете корень, следует перейти к более эффективным алгоритмам -- например, какому-нибудь варианту метода Ньютона.

[Yu_K]

Если вас интересует аналитический подход - тогда возьмите простой пример - самую простую задачу. Если нужна численная реализация - то численный экперимент по подбору начального параметра сам все покажет.

Хороший примерчик по краевым задачам и про все подводные камни здесь (раскопал mathreader - далее его текст).

Гравитационная игрушка

http://www.wickedpissahgames.com/games/ ... yPods.html

которая основана на законе ньютоновского притяжения. Нужно попасть снарядом в цель, минуя гравитационные источники тяготения и отталкивания. (Начинать игру, нажав внизу экрана кнопку "Try Level 1".)

Эта игрушка иллюстрирует очень важные понятия из диффуров и геометрии, такие как:

1. однопараметрическое семейство решений
2. огибающая семейства кривых
3. неустойчивость
4. катастрофы
5. на седьмом уровне впервые становится очевидно, что траектории для разных направлений не образуют слоения, что согласуется с тем, что уравнения движения в поле тяготения -- второго порядка. То есть, если задана начальная точка траектории, и конечная точка траектории, то множество стартовых направлений, приводящих из начальной точки в конечную, дискретно (и вообще говоря, насчитывает больше одного элемента).

Следует отметить, однако, что притяжение моделируется не совсем по ньютоновскому закону: при значительном удалении притяжение считается равным нулю. (Не говоря уже о том, что имеются источники антигравитации.) Но качественно это картину не сильно портит.

Всего в игрушке 50 уровней, но дальше 25-го уровня продвигаться смысла особого нет. Всё самое интересное есть на первых 25-и.

[Деблер]

ewert писал(а):

Деблер в сообщении #161583 писал(а):

а z - известна только в одной точке, как тогда в таком случае решить задачу?

естественно. Решение ДУ 2-го порядка двухпараметрично, а граничное условие в некоторой точке (каким бы оно ни было) выбивает только один параметр. Второй же остаётся свободным, и вот за его счёт и следует подогнать второе условие.

Конкретно у Вас -- граничное условие на левом конце задаёт лишь производную решения. Значение самого решения может быть каким угодно. Вот и поиграйте им. Т.е. позадавайте разные значения самого решения и повычисляйте в каждом случае невязку граничного условия на правом конце. И подберите оптимальное -- методом половинного деления, что ли.

Ничего более конкретного в универсальной ситуации (без знания специфики уравнения) придумать невозможно. Ну, конечно, когда Вы уже локализуете корень, следует перейти к более эффективным алгоритмам -- например, какому-нибудь варианту метода Ньютона.

Если я правильно понял, чтобы найти $u(a)$, нужно взять любое значение $\lambda$ и подставить в это уравнение $cu(b,\alpha)+dz(b,\alpha)-r=0$ вместо $u(b,\alpha)$,
т.е. получится $c\lambda+dz(b,\alpha)-r=0$, а $z(b,\alpha)$ заменятся на $z(a)=\beta$ значит получится, $c\lambda+d\beta-r=0$ или это не так? z от а, а не от b, тогда что должно быть, чтобы подобрать такую $\lambda$, при которой уравнение равняется нулю

Edit:

Или все z нужно решить каким нибудь методом
т.е. есть $u'=z(x), z(a)=\beta$ это задача Коши, найду решение и буду из подставлять в то уравнение. Так?

[V.V.]

Рассмотрим не только задачу

$\begin{array}{ll} u'=z,& cu(b)+dz(b)=r,\\ z'=f(x,u,u'), & z(a)=\beta,\\ \end{array}$,

но и задачу Коши

$\begin{array}{ll} u'=z,& u(a)=\alpha,\\ z'=f(x,u,u'), & z(a)=\beta,\\ \end{array}$.

Поскольку мы не знаем пока нужного нам $\alpha$, обозначим решение этой задачи как $(u(x,\alpha),z(x,\alpha))$, каждое из которых соответствует начальным данным $(u(a,\alpha)=\alpha,z(a,\alpha)=\beta)$.

Ну, хорошо! Есть у нас такое решение. Но у нас же второе условие на правом конце. Что с ним делать?

Решение нашей задачи Коши в точке $x=b$ будет $(u(b,\alpha),z(b,\alpha))$.
Нам надо, чтобы оно удовлетворяло условию
$cu(b,\alpha)+dz(b,\alpha)=r$.

Как же этого добиться? Мы можем сделать это, только выбрав как-нибудь $\alpha$. А как его выбрать, как не решив уравнение $cu(b,\alpha)+dz(b,\alpha)=r$ ?

Кстати, теперь возникает вопрос, как решить это уравнение. Есть мнение, что тут подойдет банальный метод Ньютона.