Вид функции Лагранжа

[Enceladoglu]

У Ландау-Лившица в параграфе 4, при выводе вида функции лагранжа рассматриваеться это уравнение
$L(v_2^2) = L( {v_2^{'} }^{2} )+ \frac{\partial L}{\partial v^2} 2\vec{v}\vec{\varepsilon}$
И сказано мол функция Лагранжа будет такая же, если второе слагаемое в правой части будет полной производной по времени от некоторой функции времени и координат. И что для этого нужно что бы вся это фигня линейно зависила от скорости, тоесть $\frac{\partial L}{\partial v^2} = c = const $. Обьясните пожалуйста почему для того что бы второе слагаемое было полной производной нужно только линейная зависимость от скорости, понять не могу. Наверное это весьма простой факт, который не оговорен

[Ende]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[пианист]

Должно быть как в (2.8), $\frac{\partial f}{\partial q}v$, причем $f$ от $v$ не зависит же.

[Enceladoglu]

пианист
Да я уже понял ( частично)
Просто надо написать производную $ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial q}v +\frac{\partial f}{\partial t}$
Иии сказать мол это равно нашему второму члену, но как то все равно не очевидно, может ли так быть что эти функции от q и t суммарно не будет функцией этих аргументов и равна нашему второму члену?

[пианист]

$f$ от $t$ зависеть не может, не получится линейный по $v$ член, например.

[Enceladoglu]

пианист
Эта логика мне понятна, но вот, не может ли так получиться, что $ \frac{\partial L}{\partial v_2}2v\varepsilon = \frac{\partial f}{\partial q}v +\frac{\partial f}{\partial t}$ численно

-- 28.09.2023, 13:30 --

Чисто математичски сформулирую вопрос
$f_1(q,t )v+ f_2(q,t) = f(v^2)v $
Как мне показать что все функции могут быть только константами ? А не выйти так, что в итоге если эти функции не постоянны $f_1(q,t )v+ f_2(q,t)$ можно будет представить как некоторую функцию $f(v^2)v $

-- 28.09.2023, 13:38 --

Наверное еще более абстрактно
Как доказать что функцию $f_1(M)x+f_2(M) $ нельзя представить как функцию $f(x)x$

[пианист]

Enceladoglu в сообщении #1611560 писал(а):

$f_1(q,t )v+ f_2(q,t) = f(v^2)v $
Как мне показать что все функции могут быть только константами ?

Продифференцируйте два раза по $v$.

[Enceladoglu]

пианист
Не совсем понял почему по два..
Взял один раз $ f_1(q,t)= \frac{ \partial f(v^2)v}{\partial v} $. Фиксирую скорость, изменяя q,t получаю что функция $f_1$постоянна
Подсавив константу в иходное уравнения, фиксирую v получаю что и вторая функция постоянна. Я правильно понял ?
Правда, меня смущает что я могу фиксировать скорость, при этом меняя время..

[пианист]

Ну, можно так.
Насчет последнего даже не знаю, что и сказать. Может, кто-то еще к разговору подтянется.

[Enceladoglu]

пианист
я понял вашу мысль про вторую производную, мол $\frac{\partial^2 (f(v^2)v)}{\partial v^2} = 0 $ и отсюда $ f(v^2)v = C_1 v+ C_2 $
Так, ну давайте предположим что мы в итоге получили $ f(v^2)v = C_1 v+ C_2 $ Теперь нужно доказать что $ f(v^2) = С $. Можно было бы сказать, мол, очевидно, но на самом деле это нифига не очевидно ведь вообще говоря $ f(v^2) = C_1+ \frac{C_2}{v} $ если $v$ не равно нулю. Но тут я понял как все исправить. Это равенство $ f(v^2)v = C_1 v+ C_2 $ по идее должно вполняться для любого $v$, в частности $v = 0$, отсюда $C_2 = 0$

-- 29.09.2023, 10:47 --

пианист
Ну вот кстати, я понял откуда у меня идут проблемы. При изучении вариационного исчисления меня смущал факт того что $\frac{d}{dy}x = 0$, мол икс от игрика не зависит и производная ноль, хотя тогда я не обратил на это должного внимания (Ну как пример $\frac{d}{dy}(2y(x)+x^2 + y'(x)) = 2)$). Хотя, вообще говоря, y(x) есть функция икса, и если есть обратная функция то это производная не ноль.. или ноль..
Собственно это тоже самое что проблема с v(t) и t. Мы берем производную от $f_1(q(t),t)$ по v(t) и получаем ноль. Если бы это были вообще разные независимые аргументы то все понятно( по типу произвольной функции от x,y,z), но вообще говоря это не так. И скорее всего, факт того что мы можем фиксировать переменную v, и менять произвольным образом время t как предлагал я, и брать производную по v как от независимой переменной как предлагайте Вы, как то связаны( если даже не эквивалентны) .Видать это что то само собой разумеющееся, что требует для меня дополнительных умственных усилий)

[пианист]

(Оффтоп)

А зачем Вам ЛЛ-1?
Это довольно специфическое пособие..

[Enceladoglu]

пианист
Всмысле специфичное))
Оно как учебник не годиться ? Если есть другие варианты я их готов выслушать)
В любом случае, хотелось бы разобраться в этом математическом нюансе

-- 29.09.2023, 18:47 --

Кроме этого нюанса у меня особо других сильных вопросов пока нет, ну возможно это пока))

[пианист]

(Оффтоп)

Дело хозяйское. Полагаю, Вам видней, что Вам нужно.
Успехов.