Векторная авторегрессия

[bubu gaga]

Дана модель (из чужой работы)

$$ z_t = a + B \, x_{t - 1} + \epsilon_t $$

, где

$$z_t = (r_t \quad x_t)^T $$

, т.е. есть одна переменная $r_t$ которая всем интересна, и одна переменная $x_t$ которая работает как предсказатель (predictive).

Автор эти матрицы оценил, и получил что резидуумы распеределены нормально с такой вот ковариационной матрицей

$$\left(\begin{array}{l, l} 0.0017 & -0.9351 \\ -0.9351 & 3.0E-6 \\ \end{array}\right) $$

Но она совсем даже не положительная. Как такое могло получиться? Мне надо это дело запрограммировать, как в таких случаях поступают? Спасибо!

[Henrylee]

bubu gaga писал(а):

Автор эти матрицы оценил, и получил что резидуумы распеределены нормально с такой вот ковариационной матрицей

$$\left(\begin{array}{l, l} 0.0017 & -0.9351 \\ -0.9351 & 3.0E-6 \\ \end{array}\right) $$

Но она совсем даже не положительная. Как такое могло получиться?

С чего Вы взяли, что она не положительная?

[ewert]

Детерминант отрицательный.

("не положительная", а не "неположительная")

[GAA]

bubu gaga писал(а):

Как такое могло получиться? Мне надо это дело запрограммировать, как в таких случаях поступают? Спасибо!

Если в наборе сообщения Вы ничего не напутали (и E–6 — это порядок), то — ничего не поделать. Быть такого не может. Надо писать письмо авторам работы.

Не хочется гадать, как такое могло получиться. Скорее всего, в статье опечатка, возможно наборщика, но может неудачный выбор метода оценивания.

[bubu gaga]

Перечитал работу. Известно, что случайный вектор $(r_t, x_t)$ распределён нормально. Для векторов $a, B$ известны мат.ожидания и дисперсии отдельных компонент. Для резидуумов известно, что они распределены i.i.d нормально $N(0, \Sigma)$. Для каждого значения ковариационной матрицы $\Sigma$ известны мат.ожидание (те, которые преведены выше) и дисперсия.

Как мне найти параметры распределения случайного вектора $z_t \equiv (r_t, x_t)$?

То есть для мат ожидания я могу ещё себе представить вот такое выражение

$$ \mathbb{E}_{t - 1}(z_t) = \mathbb{E}_{t - 1}(a) + \mathbb{E}_{t - 1}(B) \, x_{t - 1} $$

,

где математическое ожидание вектора есть вектор математических ожиданий (я в этой теме совершенным образом плаваю, так что даже не знаю верно ли это вообще). А как быть с дисперсией?

[GAA]

Не читая статью невозможно сказать что-либо определенное, но то, что Вы написали вызывает удивление. Вот почему:
1. В модели $a$, $B$ как правило, а $\Sigma$, ес-но, всегда, детерминированные, хоть нам и неизвестные величины. В качестве значений этих величин используют статистические оценки. Вот эти оценки уже величины случайные.
2. Матрица $\Sigma$ не может быть той, что Вы указали, поскольку определитель отрицательный.
3. Для исследования или имитации $z_t$ нужно знать не только $a$ и $B$, но и $\epsilon_t$, о котором Вы ничего не говорите.

Добавлено спустя 7 минут 16 секунд:

Если это экономика, то спросить можно и на эконометрическом форуме НГУ.

[bubu gaga]

Эта статья про байесовский подход, и распределения постериорные. То есть первым делом вычисляется $p(a, B, \Sigma | z)$, где z -- все наблюдения к текущему моменту. А потом уже при симуляции вытягивают $(a, B, \Sigma)$ и в зависимости от вытянутой реализации $(a, B, \Sigma)$ и конкретного состояния системы $x_{t - 1}$ вытягивают вектор $(r_t, x_t)$.

Когда речь идёт об оценке распределения параметров $(a, B, \Sigma)$ по историческим данным, то формулировка выглядит так: the table ... gives the mean and standard deviation of each parameter's posterior distribution. (в том числе та самая таблица с отрицательным детерминантом)

Позже в статье, когда речь идёт о симуляции вектора $(r_t, x_t)$ формулировка выглядит так: the expectation is taken over the Normal distribution $p(r_t, x_t | a, B, \Sigma, x_{t - 1}) $, conditioned on parameters values fixed at the posterior means.

Ну вот я и понял это таким образом, что автор сказал, один раз мы уже эти параметры оценили, так давайте будем их использовать как достоверные в нашей симуляции, взяв средние значения. И тут как раз мы получаем матрицу с отрицательным детерминантом.

Статья (http://badger.som.yale.edu/faculty/ncb25/alloc_jnl.pdf) опубликована в Journal of Finance и на неё есть куча цитат, так что я склоняюсь к мнению, что это я где-то туплю.

P.S. Ну или ещё вариант найти данные и сделать VAR самостоятельно.

[bubu gaga]

GAA: спасибо большое за помощь и советы. После n-го прочтения заметил мелким шрифтом пометку автора, что элементы вне диагонали ковариационной матрицы - это корреляционные коэффициенты. Будем считать что это мне урок на будущее.