Метрика на нехаусдорфовом пространстве

[Middle]

Добрый день, при решении одной задачи встал вопрос о метрике на нехаусдорфовом пространстве, а именно почему это нельзя сделать?
Для того, чтобы наделить некоторое пространство метрикой необходимо указать такую функцию $d: X\times X \to R$ для которой выполняются следующие условия:

$d(x_{1}, x_{2})=0 \Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$

$d(x_{1}, x_{2})=d(x_{2}, x_{1})$

$d(x_{1}, x_{3}) \leqslant d(x_{1}, x_{2}) + d(x_{2}, x_{3}) $

В какой момент(или на какой паре точек) на нехаусдорфовом пространстве будет не выполняться хотя бы одно из условий? Если пойти от обратного и все-таки признать, что на этом пространстве есть метрика, то тогда выясниться, что одно из свойств метрического пространства не будет выполняться:

Для любых двух точек $a,b \in X$ таких, что $d(a,b)>0$, их шаровые окрестности $B(a, \frac 1 2 d(a,b) ), B(b, \frac 1 2 d(a,b))$ не имеют общих точек.
Но для меня это не очень убедительно, потому что, очевидно, что это свойство навеяно на примере евклидового пространства. А если это произвольное множество? Почему оба шара не могут иметь непересекающихся окрестностей, но быть при этом в метрическом пространстве? Тоже в какой-то момент у нас нарушаются условия на метрику?

[mihaild]

Middle в сообщении #1610421 писал(а):

Для любых двух точек $a,b \in X$ таких, что $d(a,b)>0$, их шаровые окрестности $B(a, \frac 1 2 d(a,b) ), B(b, \frac 1 2 d(a,b))$ не имеют общих точек.
Но для меня это не очень убедительно, потому что, очевидно, что это свойство навеяно на примере евклидового пространства. А если это произвольное множество? Почему оба шара не могут иметь непересекающихся окрестностей

Тут не нужны непересекающиеся окрестности шаров. А вот эти шары обязательно не пересекаются. Предположите, что они пересекаются в точке $c$, и получите противоречие с неравенством треугольника для точек $a, b, c$.

[мат-ламер]

Middle в сообщении #1610421 писал(а):

Если пойти от обратного и все-таки признать, что на этом пространстве есть метрика, то тогда выясниться, что

пространство Хаусдорфово.

[Middle]

mihaild в сообщении #1610424 писал(а):

Тут не нужны непересекающиеся окрестности шаров. А вот эти шары обязательно не пересекаются. Предположите, что они пересекаются в точке $c$, и получите противоречие с неравенством треугольника для точек $a, b, c$.

Извините оговорился, имелось ввиду не "окрестности шаров", а окрестности точек.
А тогда разве дискретная метрика, в которой расстояние между двумя различными точками полагается единице, и нулем, если точки совпадают, не подойдет?

[Mikhail_K]

Middle в сообщении #1610453 писал(а):

А тогда разве дискретная метрика, в которой расстояние между двумя различными точками полагается единице, и нулем, если точки совпадают, не подойдет?

Не подойдёт. Если метрика дискретная, то у любых двух несовпадающих точек $a$ и $b$ можно указать непересекающиеся окрестности - это будут одноточечные множества $\{a\}$ и $\{b\}$, они же (открытые) окрестности этих точек с радиусом $\leq 1$, так что пространство с дискретной метрикой хаусдорфово.

[Middle]

Mikhail_K в сообщении #1610454 писал(а):

Не подойдёт. Если метрика дискретная, то у любых двух несовпадающих точек $a$ и $b$ можно указать непересекающиеся окрестности - это будут одноточечные множества $\{a\}$ и $\{b\}$, они же (открытые) окрестности этих точек с радиусом $\leq 1$, так что пространство с дискретной метрикой хаусдорфово.

На самом деле есть нахусдорфово пространство (ростки функций), в котором одноточечные множества, очевидно, являются открытыми(и замкнутыми). Но дискретная метрика не обеспечивает существования этих открытых множеств в силу более сильного условия-нехаусдорфовости(шары просто не будут одноточечными)
Но мне все равно кажется, что этот вопрос можно решить удачной подгонкой метрики, чтобы выполнялось неравенство треугольника

[mihaild]

Middle в сообщении #1610457 писал(а):

На самом деле есть нахусдорфово пространство (ростки функций), в котором одноточечные множества, очевидно, являются открытыми(и замкнутыми).

Если одноточечные множества открыты, то все множества открыты, и соответственно топология хаусдорфова.

Middle в сообщении #1610457 писал(а):

Но мне все равно кажется, что этот вопрос можно решить удачной подгонкой метрики, чтобы выполнялось неравенство треугольника

Нехаусдорфова топология неметризуема, доказательство даже из этой темы собрать можно.

[Middle]

mihaild в сообщении #1610473 писал(а):

Нехаусдорфова топология неметризуема, доказательство даже из этой темы собрать можно.

Кажется дошло.
Пусть на нехаусдорфовом пространстве $X$ существует некоторая метрика $d: X\times X \to R$

Пусть $a,b \in X$-произвольные две точки данного пространства. Тогда строя шары с центрами в точках $a,b$ со сколь угодно малым радиусом $\delta$.
будем получать, согласно неравенству треугольника:

$d(a,b) \leqslant d(a,c)+d(c,b) = d(a,c)+d(b,c) \leqslant 2\delta $, поскольку $c$ принадлежит двум шарам $B(a,\delta) , B(b,\delta) $, в которых для $\forall x\in B: d(a,x)<\delta \wedge d(b,x)<\delta$
Значит расстояние между двумя точками сколь угодно мало=>$ \forall a,b \in X: d(a,b)\leqslant 0$=>На нехаусдорфовом пространстве не существует метрики

[Mikhail_K]

Middle
Ага, верно.