Использование асимптотической нормальности хи-квадрат

[mvb13]

СВ X распределена по закону $\chi^2(200)$. Используя асимптотическую нормальность закона вычислить $P\{220 \leqslant X<250\}$.

$$f(x)=\frac 1 {2^{100}\Gamma(100)}e^{-\frac x 2}x^{99} , x>0$$

$\Gamma(100)=99!$(свойство $\Gamma$-функции)

$$P\{220 \leqslant X<250\}=\frac 1 {2^{100}99!} \int_{220}^{250} e^{-\frac x 2}x^{99}dx $$

Объясните ,пожалуйста, что такое асимптотическая нормальность . Как ее применить для решения этой задачи?

[GAA]

При больших "степенях свободы" плотность распределения $\chi^2$ становится близкой к плотности нормального распределения (см. рисунок в разделе «Распределение «хи-квадрат» и его свойства» лекций Н.И. Черновой по МС.

[mvb13]

Для СВ с распределением хи-квадрат
$m_X=200$
$D_X=400$
Получается что распределение хи-квадрат можно заменить на распределение $N(200,20)$ и вычислять

$$\frac 1 {20\sqrt{2\pi}}\int_{220}^{250}e^{-\frac {(x-200)^2} {800}}dx$$

[GAA]

У меня так же.

Добавлено спустя 1 минуту 18 секунд:

Теперь можно свести к стандартному нормальному распределению, если есть его таблицы.

[mvb13]

Можно сделать так ?
$P\{220<=X<250\}=\Phi(\frac {250-200}{20})-\Phi(\frac {220-200}{20})$

[GAA]

Да, так сделать можно.

Используя Maple 7, я нашел:
Если использовать распределение $\chi^2$ c 200 степенями свободы, то $\text{P} \{220 \le X < 250\}\approx 0.149$.
Если использовать нормальное распределение с параметрами (200, 20), то $\text{P}\{220 \le X < 250\}\approx 0.152$

[ewert]

не врубаюсь. Однако же для хи-квадрат, насколько я помню, матожидание равно к-ву степеней свободы, а дисперсия -- ровно вдвое больше, и вот эти-то цифирки и надо подставлять в табличку нормального распределения, и что?...

[GAA]

Я не понял вашего вопроса. Уточните, пожалуйста.

[ewert]

Взаимно не понял вопроса. Исходная задача формулировалась:

mvb13 в сообщении #160952 писал(а):

Используя асимптотическую нормальность закона вычислить

-- ну и в чём, собственно, вопрос?

[GAA]

Простите, но у меня вопроса нет. В моих сообщениях этой темы, я не использовал нигде знак вопроса.

Добавлено спустя 34 минуты 2 секунды:

Продолжу.

Сходимость распределение $\chi^2$ к нормальному медленная. Это хорошо видно по приведенным мною выше значениям. На практике используют следующую аппроксимацию (см., например, ММС Крамера):
величина $\sqrt{2X}$ асимптотически имеет распределение $N(\sqrt{2n-1}, 1)$.
Если мы воспользуемся этой аппроксимацией, то для вероятности искомого события $\mathop{\mathrm{P}\{ 220 \le X < 250\} = \mathop{\mathrm{P}\{\sqrt{440} \le \sqrt{2X} < \sqrt{500}\}$ получим приближенно $ 0.150$, что ближе к значению $0.149$ для распределения $\chi^2$.

[ewert]

ежу понятно, что медленная. Это не имеет значения. По условию задачи требовалось аппроксимировать хи-квадрат именно нормальным, и ни чем иным. И именно шаблонно.

[GAA]

Я не знаю, какую аппроксимацию подразумевал задававший упражнение преподаватель. Вторая аппроксимация также считается стандартной, асимтотической и нормальной. Она используется в качестве грубого приближения либо в асимптотических исследованиях.

Добавлено спустя 1 минуту 35 секунд:

Вполне возможно предполагалась вторая аппроксимация.

Добавлено спустя 1 час 33 минуты 12 секунд:

mvb13
Изначально так думал, и сейчас практически уверен, что от Вас ожидают то решение, которое Вы и сделали. И ewert как раз на это обращал Ваше внимание. Ответ: 0.152 и точка.

Мне было интересно посмотреть: насколько аппроксимация отличается от распределения $\chi^2$, поэтому я вычислил вероятность, используя точную функцию распределения (функцию распределения $\chi^2$). Отличие оказалось заметным. Тогда я показал, что мы получим, если воспользуемся другой аппроксимацией. Строго говоря, использование этой аппроксимации, не соответствует условию, тут не могу, не согласится с участником ewert. Но в МС не очень строго следят за терминами. Вот я и испугался, что Ваш преподаватель мог предположить другой вариант решения, и привел его.

[--mS--]

ewert писал(а):

ежу понятно, что медленная. Это не имеет значения. По условию задачи требовалось аппроксимировать хи-квадрат именно нормальным, и ни чем иным. И именно шаблонно.

Ещё непонятно, что более шаблонно. Когда говорят о нормальной аппроксимации для распределения хи-квадрат, имеют в виду, насколько я знаю, обычно аппроксимацию Фишера

$$ \sqrt{2\chi^2_n} - \sqrt{2n-1} \; {\buildrel \mathcal D \over \to} \; N (0,1).$$

А вовсе не аппроксимацию по ЦПТ, которая практически нигде для этого распределения не используется

$$ \frac{\chi^2_n - n}{\sqrt{2n}} \; {\buildrel \mathcal D \over \to} \; N (0,1),$$

Заметьте, что и то, и другое - аппроксимации "именно нормальным, и ни чем иным".

Есть и более точные аппроксимации для хи-квадрат, и тоже именно нормальным распределением. Но они реже употребляются из-за своего сложного вида.