Праймориал и константа

[kthxbye]

Пусть $p(n)$ - это праймориал, произведение первых $n$ простых чисел.

Пусть $f(n)$ это A007814, максимальная степень двойки на которую делится $n$. Здесь

$$f(2n+1)=0, f(2n)=f(n)+1$$

Присвоим $A:=n$ и далее будем присваивать $A:=A+m2^{kf(A)}$ до тех пор, пока

• либо $A\operatorname{mod}n=0$
• либо количество шагов превысило $2$

Пусть $a_1(n,m,k)$ возвращает количество шагов, необходимое для выполнения первого условия либо возвращает $0$ при выполнении второго условия.

Пусть также $a_2(m,k)$ это минимальное $q$, такое, что $a_1(q,m,k)=0$.

И, наконец, пусть

$$a_3(m,k)=[(a_2(m,k)-1)<\sum\limits_{j=1}^{a_2(m,k)-1}a_1(j,m,k)]$$

Здесь квадратные скобки это скобки Айверсона, которые возвращают $1$ если условие внутри них соблюдается и возвращают $0$ в противном случае. По сути, этим условием мы проверяем наличие как минимум одного значения $a_1(j,m,k)=2$.

Отфильтруем значения $a_3(m,k)=1$ для фиксированного $k$ и произвольных $m$. Можно заметить, что все $m$ имеют форму $\frac{c \ell p(n)}{2}$ где $c$ и $n$ это некоторые константы.

Можно заметить, что если записать $k$ в виде $2^s(2t+1)$ где $s\geqslant 0, t\geqslant 0$, то при фиксированном $s$ и произвольных $t$ значения $c$ и $n$ одинаковые.

Вот все, что мне удалось получить на данный момент:

$$\begin{bmatrix} s & n & c \\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 6 & 3\\ 3 & 24 & 945 \end{bmatrix}$$

Т.е. что мы ищем? Мы ищем два первых значения $m$, таких, что $a_3(m,k)=1$ при фиксированном $k$ и даже не для всех $k$, а только для $k=2^s$. Через НОД этих двух значений мы находим $nc$.

Вот прога:

p(n) = prod(j=1, n, prime(j))
a1(n, m, k) = my(A = n, B = 0); until(A%n == 0 || B>2, A+=m*2^(k*valuation(A,2)); B++); if(B < 3, B)
a2(m, k) = my(A = 1); until(a1(A, m, k) == 0, A++); A
a3(m, k) = my(A = a2(m, k)); sum(j=1, A-1, a1(j, m, k)) > (A-1)
v1 = vector(2, i, 0);
z=1; for(k=1,2, while(!(z%2 && a3(p(24)*z/2, 2^3)==1), z++); v1[k]=z; z++;);
print(gcd(v1))

Она ищет $c$ если известно $n$.

Я думаю, что $2,6,24$ для $n$ это просто совпадение с факториалами.

Хотелось бы узнать, какие будут $n$ и $c$ для $s>3$.

Я не помещаю тему на форуме Околонаучный софт, поскольку предполагаю, что значения могут быть получены гораздо более легким путем, основанном на правильных рассуждениях.