Мистика чисел имеющих ту же сумму цифр по основаниям 2,3,4,5

[maxal]

Числа, которые имеют одну и ту же сумму цифр по основанию 2, 3, 4, и 5, довольно редки (A317777). Например, первые 5 таких чисел:

1, 23162843828305, 5722224662500629, 25185954575304707081301, 407805072367801818857674005

Однако, следующие 6 (!) таких чисел неожиданно образуют "созвездие":

1705412607407578552438012746487125, 1705412607426764386750185803694405, 1705412607426764386750185803695125, 1705412607426764386750186877112645, 1705412607431411795338502226662661, 1705412607505568863583419191612501

Более того: сумма цифр (по основаниям 2,3,4,5) для всех этих чисел совпадает и равна 45.
Вряд ли это случайное совпадение. А если нет, то как можно объяснить существование такого созвездия?

PS. Равенство сумм цифр по основаниям 2 и 4 с необходимостью и достаточностью означает, что все 4ичные цифры обязаны быть только 0 или 1.

Для удобства привожу здесь представления чисел нашего созвездия по основаниям 3, 4. 5:

# base 3
[2, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 2, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 1, 0]
[2, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0]
[2, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[2, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0]
[2, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[2, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 2, 1, 2, 0, 0, 2, 2, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 0]

# base 4
[1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
[1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1]
[1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1]
[1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1]
[1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1]
[1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1]

# base 5
[2, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 4, 2, 0, 0, 0]
[2, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 4, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 0]
[2, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 4, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 0]
[2, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 4, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 3, 0, 2, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 1, 0, 4, 0]
[2, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 1, 4, 2, 0, 2, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 3, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 1]
[2, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 4, 1, 0, 3, 0, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 1]

[maxal]

Феномен явно не изолированный. Вот еще созвездие:

89675268900935540640454882129695060
89675268900935540640454882129695061
89675268900935540640454933652788500
89675268900935540640454933652788501
89675273848747799396737823490250005

Здесь первые две пары объяснимы - первому решению в них "повезло" оканчиваться на 0 по каждому из оснований 2,3,4,5 (т.е. делиться на 60), а поэтому увеличение на 1 просто меняет последнюю цифру 0 на 1 во всех этих системах.

Еще одно созвездие, в котором присутствуют аж 4 пары отличающихся на 1:

113343080811409868866589092414267671876
113343080811409868866589092414267671877
113343080811409868867743138448975156500
113343080811409868867743138448975156501
113343080811409868867760032719746187600
113343080811409868867760032719746187601
113343080811409868867760239410949735765
113343080811409868867761158326773437508
113343080811409868867761158326773437509

[dx_dyf]

maxal в сообщении #1608571 писал(а):

Феномен явно не изолированный. Вот еще созвездие:
...
Здесь первые две пары объяснимы - первому решению в них "повезло" оканчиваться на 0 по каждому из оснований 2,3,4,5 (т.е. делиться на 60), а поэтому увеличение на 1 просто меняет последнюю цифру 0 на 1 во всех этих системах.

Еще одно созвездие, в котором присутствуют аж 4 пары отличающихся на 1:
...

Как вы это посчитали? У вас суперкомпьютер?

[maxal]

dx_dyf в сообщении #1609316 писал(а):

Как вы это посчитали? У вас суперкомпьютер?

Нет. Просто использовал идею, что если мы зафиксировали сколько-то старших цифр в 4ичной системе счисления, то мы знаем и какое-то количество старших цифр в остальных системах. В купе с оценками на сумму цифр это позволяет запустить перебор с отсечениями.