"Значение" дзета-функции в единице

[artempalkin]

Допустим я знаю, что $\prod\limits_{n=1}^{\infty}\frac 1{1-p_n^{-1}}$, где произведение берется по всем простым числам, расходится. Тогда я могу доказать, что расходится гармонический ряд, т.к. если бы он сходился, тогда известными несложными манипуляциями мы получили бы:

$$1+\frac12+\frac13+...=\prod\limits_{n=1}^{\infty}\frac 1{1-p_n^{-1}},$$

а правая часть расходится. Получается, в таком случае у гармонического ряда не было бы выбора.

Вопрос: а можно ли доказать в обратную сторону, что если гармонический ряд расходится, то расходится и $\prod\limits_{n=1}^{\infty}\frac 1{1-p_n^{-1}}$? С расходящимся рядом таких манипуляций делать не особо можно, и равенство вверху, я так понимаю, уже будет неверно...

[dgwuqtj]

Вам никто не запрещает все эти операции проделывать и с расходящимися рядами, т.к. у них все члены неотрицательны. А именно, у рядов с неотрицательными членами всегда определена сумма (возможно, $+\infty$), не зависящая от порядка суммирования. Если раскрыть бесконечное произведение как предел частичных произведений, а сомножители - как $\sum_k \frac 1{p_n^k}$, то получится последовательность из сумм рядов, которые сверху оцениваются гармоническим, а снизу - всё большими начальными кусками этого гармонического ряда.

[artempalkin]

dgwuqtj в сообщении #1608988 писал(а):

Если раскрыть бесконечное произведение как предел частичных произведений, а сомножители - как $\sum_k \frac 1{p_n^k}$, то получится последовательность из сумм рядов, которые сверху оцениваются гармоническим, а снизу - всё большими начальными кусками этого гармонического ряда.

Да, но это вновь докажет расходимость гармонического ряда из расходимости бесконечного произведения, а это не то, что нужно.

dgwuqtj в сообщении #1608988 писал(а):

Вам никто не запрещает все эти операции проделывать и с расходящимися рядами, т.к. у них все члены неотрицательны. А именно, у рядов с неотрицательными членами всегда определена сумма (возможно, $+\infty$), не зависящая от порядка суммирования.

Все же вот это равенство

artempalkin в сообщении #1608983 писал(а):

$$1+\frac12+\frac13+...=\prod\limits_{n=1}^{\infty}\frac 1{1-p_n^{-1}},$$

(не для первых степеней, а выше) вроде бы существенно на сходимость исходного обобщенного гармонического ряда опирается. Мы его на что-то домножаем, потом из исходного рядя вычитаем получившийся, и так вообще-то счетное количество раз. Получается, мы из расходящегося ряда будем вычитать расходящийся, результат непредсказуем.

-- 13.09.2023, 12:24 --

Давайте я попробую:

$$\zeta(1)=1+\frac 12+\frac 13+...$$

На самом деле тут слева и справа бесконечности, но в этом смысле равенство верно.

$$\frac 12\zeta(1)=\frac 12+\frac 14+\frac 16+...$$

Пока что равенство формально верно (в том же смысле). Вычтем из первого второе

$$(1-\frac 12)\zeta(1)=1+\frac 13+\frac 15+...$$

Пока что в целом верно, хотя это и не очевидно (нужно доказывать, что ряд справа сходится, но в данном случае это так). Можем проделать так конечное количество раз и равенство останется "верным". Но во всех случаях справа будет стоять бесконечность, а нам-то нужно, чтобы в итоге справа оказалась единица (чтобы исходное равенство доказать). Нет, не катит...

[mihaild]

Пусть $P_k$ - множество чисел, все простые делители которых не превосходят $p_k$, и входят в разложение не более чем в $k$-й степени. Понятно что $[1, k] \subset P_k$.

$$\prod \limits_{n = 1}^k \frac{1}{1 - p_n^{-1}} \geqslant \prod\limits_{n = 1}^k \sum\limits_{i=0}^k p_n^{-k} =\sum\limits_{t \in P_k} \frac{1}{t} \geqslant \sum\limits_{t = 1}^k \frac{1}{k}$$

[dgwuqtj]

Даже для других "значений дзета-функции" нигде не используется сходимость (т.е. конечные суммы или бесконечные). Вычитать ничего не надо, просто берёте и перемножаете $\frac 1{1 - p_n^{-s}} = \sum_{k = 0}^\infty \frac 1{p_n^{ks}}$ по всем $n$. Только операции сложения и умножения. Ну и надо $s > 0$, чтобы сомножители раскрывались в суммы геометрических прогрессий.

Хотя, конечно, при $s \leq 1$ это формально к дзета-функции не относится.

[vicvolf]

artempalkin в сообщении #1608983 писал(а):

$$1+\frac12+\frac13+...=\prod\limits_{n=1}^{\infty}\frac 1{1-p_n^{-1}},$$

Такого равенства не существует, так как тождество Эйлера при $s=1$ не выполняется.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0 ... 0%BD%D0%B0

[artempalkin]

vicvolf в сообщении #1608998 писал(а):

Такого равенства не существует, так как тождество Эйлера при $s=1$ не выполняется.

Мне бы польстило, если бы вы внимательно прочитали сообщение прежде чем писать :) Я, конечно, не заслуженный участник форума, но все же

artempalkin в сообщении #1608983 писал(а):

огда я могу доказать, что расходится гармонический ряд, т.к. если бы он сходился, тогда известными несложными манипуляциями мы получили бы:

$$1+\frac12+\frac13+...=\prod\limits_{n=1}^{\infty}\frac 1{1-p_n^{-1}},$$

Я пишу это равенство при условии, что гармонический ряд сходится (т.к доказываю от противного).

dgwuqtj в сообщении #1608997 писал(а):

Даже для других "значений дзета-функции" нигде не используется сходимость (т.е. конечные суммы или бесконечные). Вычитать ничего не надо, просто берёте и перемножаете $\frac 1{1 - p_n^{-s}} = \sum_{k = 0}^\infty \frac 1{p_n^{ks}}$ по всем $n$. Только операции сложения и умножения. Ну и надо $s > 0$, чтобы сомножители раскрывались в суммы геометрических прогрессий.

О, это другой вывод формулы значений дзета-функции. Но опять же возникает вопрос, можно ли это все делать, если бесконечное произведение расходится... У вас получается бесконечное произведение бесконечных сумм. Я подозреваю, что раскрыть его можно, если результат сойдется. А если нет, я в замешательстве. Но, конечно, если бы было можно, это было бы прямое решение моего вопроса.

-- 13.09.2023, 12:41 --

mihaild в сообщении #1608996 писал(а):

$$\prod \limits_{n = 1}^k \frac{1}{1 - p_n^{-1}} \geqslant \prod\limits_{n = 1}^k \sum\limits_{i=0}^k p_n^{-k} =\sum\limits_{t \in P_k} \frac{1}{t} \geqslant \sum\limits_{t = 1}^k \frac{1}{k}$$

Да, спасибо, согласен! Получается, наше срезанное произведение будет обязательно содержать часть гармонического ряда.

Отсюда можно сделать вывод, что ряд обратных простых расходится, т.к. его расходимость следует из расходимости этого произведения

[dgwuqtj]

С бесконечными произведениями правда надо аккуратнее, у mihaild хорошо написано.

[vicvolf]

artempalkin в сообщении #1608983 писал(а):

С расходящимся рядом таких манипуляций делать не особо можно, и равенство вверху, я так понимаю, уже будет неверно...

Вы правильно понимаете. Я именно это и сказал:

vicvolf в сообщении #1608998 писал(а):

artempalkin в сообщении #1608983 писал(а):

$$1+\frac12+\frac13+...=\prod\limits_{n=1}^{\infty}\frac 1{1-p_n^{-1}},$$

Такого равенства не существует, так как тождество Эйлера при $s=1$ не выполняется.