Наивные вопросы о размерностях

[Anton_Peplov]

Здесь я буду задавать наивные вопросы о размерностях: топологических ($\operatorname{ind}, \operatorname{Ind}, \dim$) или любых других. Вопросы задаются по одному, следующий после закрытия предыдущего.

Вопрос № 1. Конечность $\operatorname{Ind}$ и нормальность пространства.

Читаю Александрова, Пасынкова. Введение в теорию размерностей.

Определения, которые нам понадобятся, взяты из этой книги со с. 53. Я специально несколько раз проверил, что они именно такие.

Аксиома $T_1$. Каждая из двух произвольных точек имеет окрестность, не содержащую другую точку.

Аксиома $T_4$. Любые два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности.

$T_1$-пространство, удовлетворяющее $T_4$, называется нормальным.

(Отметим, что ни одна из аксиом $T_1$ и $T_4$ не следует из другой).

Пока всё в порядке. А вот на с. 160 происходит странное.

Предложение 4. Если $\operatorname{Ind} X$ конечна, то $X$ нормально.

При этом фактически авторы доказывают только, что из конечности $\operatorname{Ind} X$ следует $T_4$. И это действительно очевидно: раз уж между двумя замкнутыми множествами есть перегородка, она разбивает пространство на их непересекающиеся окрестности. Но ведь надо доказать ещё и $T_1$, и я совсем не уверен, что у меня это получится.

Действительно ли из конечности $\operatorname{Ind} X$ вытекает $T_1$ и, следовательно, нормальность пространства? Если да, то в какую сторону думать, чтобы это доказать?

Спасибо.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1460319 писал(а):

Определения, которые нам понадобятся, взяты из этой книги со с. 53.

См. замечание в конце этой самой 53-й страницы. Оно и объясняет упомянутую странность.

Anton_Peplov в сообщении #1460319 писал(а):

Действительно ли из конечности $\operatorname{Ind} X$ вытекает $T_1$

Я в общей топологии совсем не силён, но сходу предложу такую конструкцию. Возьмём любое пространство $X$ с топологией $\tau_X$ и конечной $\operatorname{Ind} X$. Введём на множестве $X\times\{0,1\}$ топологию $\tau=\{M\times\{0,1\}\,|\,M\in\tau_X\}$. Подозреваю, что у полученного топологического пространства будет тоже конечная $\operatorname{Ind}$ (причём та же самая), при этом аксиома $T_1$ выполняться не будет.

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1460325 писал(а):

См. замечание в конце этой самой 53-й страницы. Оно и объясняет упомянутую странность.

А, ччёрт. Спасибо.

Никак не могу привыкнуть к этой манере умолчаний "читай мою книгу полностью, иначе ты не поймёшь, какие ещё условия требуются в каждой теореме".

[Anton_Peplov]

Вопрос № 2. Покрытие $k$-мерного куба открытыми шарами.

Пусть $G$ - $k$-мерный куб в $\mathbb R^m, m \ge k$, с ребром $L$. Для любого $\delta > 0$ существует минимальное число открытых шаров диаметром $\delta$ (обозначаемое $n(L, \delta, k)$), которое достаточно, чтобы покрыть $G$. Это тривиальное следствие леммы Гейне - Бореля.

Меня интересует функция $n(L, \delta, k)$. Интуитивно кажется, что она близка к $\frac{L^k}{\delta^k}$. Но полного совпадения нет даже для $k = 1$: число интервалов, покрывающих отрезок длиной $L$, равно не $\frac{L}{\delta}$, а $\left [ \frac{L}{\delta} \right ] + 1$ (квадратные скобки означают целую часть). Верно ли, что при фиксированных $L, k$ выполняется $\lim\limits_{\delta \to 0} (n(L, \delta, k) - \frac{L^k}{\delta^k}) = 0$ ?

Вопрос возник из попытки глубже осмыслить фрактальную размерность Минковского.

[mihaild]

В таком виде - неправда, просто из соображения объема - объем $k$-мерного шара с диаметром $\delta$ сильно меньше $\delta^k$ при больших $k$.
Если поправить - то называется covering number, и вроде можно показать, что оценка через объем промахивается не больше чем в $2^k$ раз.

[Anton_Peplov]

mihaild
Спасибо.
Статья в англовики практически пустая. На encyclopediaofmath.org статьи нет. Беглый гуглеж по запросу covering number of n-dimensional cube выдает задачи о покрытии куба участками гиперплоскостей (здесь и здесь) и симплексами. Шары встречаются, но в специфических вариантах: то достаточно покрыть 90% куба, то сразу в пространстве $l_\infty$. Уточнение запроса до Covering number of n-dimensional cube by open balls не помогло.

В целом, похоже, что минимальные покрытия $n$-мерного куба шарами или чем-то другим - это не до конца разработанная область математики. Много частичных результатов, изложенных в научных статьях. Если их кто-то и систематизировал, то не в учебниках, а в обзорах и монографиях.