Сепарабельность пространства непрерывных на компакте функций

[meshok]

Доброго времени суток!
Пусть $(X,\rho)$ - компактное метрическое пространство. Нужно доказать, что пространство $C(X)$ непрерывных на $X$ функций сепарабельно.
Это утверждение вроде бы учебный факт. Хотел узнать, каким способом его обычно доказывают.
Мои попытки.
Доказательство.
1 способ. Так как $X$ метрический компакт, то в нем существует счетное семейство непрерывных функций, разделяющих точки (в качестве этого семейства можно взять функции $\rho(x, x_j)$, где $\{x_j\}$ счетное всюду плотное подмножество в $X$). Обозначим его $\{f_n\}$. Пусть $\mathcal{P}$ - множество всех многочленов с произвольным количеством переменных, произвольных степеней и с рациональными коэффициентами. Это множество счетно, содержит единицу и образует алгебру.
Поскольку в $\mathcal{P}$ лежат многочлены произвольного количества переменных, то всевозможные функции вида $P(f_{i_1}(x),f_{i_2}(x),...,f_{i_k}(x))$, где $P\in\mathcal{P}$ образуют алгебру в $C(X)$ и разделяют точки, поэтому, согласно теореме Стоуна-Вейерштрасса, они всюду плотны, следовательно $C(X)$ сепарабельно.
2 способ. Пусть $Lip_{q,r}(X)$ - множество равномерно ограниченных константой $r$ всех $q$-липшицевых функций на $X$, т.е.таких функций, что $|f(x)|\leqslant r$ и $|f(x)-f(y)|\leqslant q\rho(x,y)$ для всех $x,y\in X$. При каждых фиксированных $q$ и $r$ множество $Lip_{q,r}(X)$ компакт в $C(X)$, поэтому оно сепарабельно. Обозначим $\{f_{q,r}^n\}\limits_{n=1}^{\infty}$ его счетное всюду плотное подмножество. Пространство $Lip(X)$ всех липшицевых функций на $X$ образует алгебру, содержит единицу и разделяет точки, поэтому, согласно теореме Стоуна-Вейерштрасса, всюду плотно в $C(X)$. Поскольку каждая липшицева на $X$ функция лежит в каком-то $Lip_{q,r}(X)$, то в качестве счетного всюду плотного подмножества в $C(X)$ можно взять $\cup\limits_{q,r,n\in\mathbb{N}}\{f_{q,r}^n\}$.
3 способ. Пусть $X$ - конечное множество мощности $n$, тогда в качестве всюду плотного в $C(X)$ можно взять $\mathbb{Q}^n$. Если $X$ - счетно, то тоже можно придумать какое-нибудь счетное всюду плотное подмножество. Если $X$ - несчетно, то, согласно теореме Милютина, все пространства $C(X)$ (где $X$ несчетный метрический компакт) линейно гомеоморфны между собой, в частности $C(X)$ линейно гомеоморфен $C[0,1]$, а последнее пространство сепарабельно, следовательно и $C(X)$ сепарабельно.