Несколько поворотов твердого тела.

[Norma]

Допустим, что твердое тело совершило несколько поворотов: вокруг оси $Ox$, вокруг оси $Oy$ и вокруг оси $Oz$. Тогда матрица поворота равна произведению матриц поворота вокруг каждой из осей.

Правильно ли я понимаю, что произведение матриц поворота коммутативно, поскольку не важно в какой последовательности были совершены повороты?

[sergey zhukov]

Norma
Нет, конечно. Если вертикальный вектор (вдоль $Z$) повернуть на 90 вокруг $Z$, а затем на 90 вокруг $X$, то он станет вдоль $Y$. Если же поменять местами эти операции, то он встанет вдоль $X$.

Вот, скажем, последовательные линейные смещения тела по разным направлениям коммутативны: конечная точка не зависит от порядка смещений. А последовательность поворотов тела - нет. Это можно рассматривать, как последовательность перемещений тела в плоском пространстве в первом случае, и в искривленном - во втором. Метрика на сферической поверхности в сферических координатах зависит от угловых координат, поэтому точка, движущаяся по сфере в соответствии с заданной последовательностью угловых координатных шагов, будет приходить в разные конечные пункты в зависимости от выбранной последовательности этих шагов, т.к. длина одних и тех же шагов будет в этом случае различной в зависимости от того, в какой точке сферы они делаются, а это зависит от их порядка.

[мат-ламер]

Norma в сообщении #1605830 писал(а):

Допустим, что твердое тело совершило несколько поворотов: вокруг оси $Ox$, вокруг оси $Oy$ и вокруг оси $Oz$.

А вдруг топик-стартер имел в виду, что твёрдое тело одновременно вращалось вокруг трёх осей? Тогда угловые скорости вращения можно (коммутативно) складывать. А, проинтегрировав полученную угловую скорость по времени, получим результирующий поворот, который при необходимости можно представить и матрицей поворота.

[diletto]

мат-ламер в сообщении #1606923 писал(а):

одновременно вращалось

Norma в сообщении #1605830 писал(а):

в какой последовательности были совершены повороты

[мат-ламер]

diletto
Я просто вспомнил одну задачу (наверное из Сивухина), где тело одновременно вращалось вокруг трёх осей. Так я подумал, что может ТС как раз решает похожую задачу. Но не знает как корректно сформулировать вопрос. Ну, может ещё зайдёт, прояснит.

[Norma]

мат-ламер
Да, именно это и имел в виду. Одновременный поворот