Встреча материальных точек

[Norma]

Точка $A$ движется равномерно со скоростью $v$ так, что вектор $v$ все время «нацелен» на точку $B$, которая в свою очередь движется прямолинейно и равномерно со скоростью $u$, меньшей $v$. В начальный момент времени скорости перпендикулярны и расстояние между точками равно $l_0$. Через сколько времени точки встретятся? Выписать функцию $w(\varphi)$ -расстояния между точками.

В полярной системе координат: $\vec{v}=(\dot{r},0)=(v,0)$, $\vec{u}=(\dot{l}, l\cdot\dot{\varphi})$

$\cos(\varphi)=\frac{v\cdot \dot{l}}{u\cdot v}=\frac{ \dot{l}}{v}$, тогда $\dot{l}=v\cos(\varphi)$

Но $w=l-r$, значит $\dot{w}=\dot{l}-\dot{r}=v\cos(\varphi)-v$

Интегрируя, получим: $w(\varphi)=-l_0=\int_0^{T}(v\cos(\varphi)-v)dt$. Можно также заметить, что расстояния по горизонтали равны $uT=\int_0^{T}v\cos(\varphi)dt$.

Но из последних двух соображений получается неправильный ответ. В чем тут ошибка?

[sergey zhukov]

Norma в сообщении #1605482 писал(а):

$\cos(\varphi)=\frac{v\cdot \dot{l}}{u\cdot v}=\frac{ \dot{l}}{v}$, тогда $\dot{l}=v\cos(\varphi)$

Должно быть $\dot{l}=u\cos(\varphi)$

[Norma]

sergey zhukov
Спасибо

[sergey zhukov]

У меня получилась такая система ДУ:

$$\dot{l}=u_A\sin(\varphi)-u_B$$

$$\dot{\varphi}=\frac{u_A\cos(\varphi)}{l}$$

$l$ - текущее расстояние между точками
Пока дальше что-то не продвинулся.
Интересно, когда точки сходятся, чему равен $\varphi$? Всегда точно $\frac{\pi}{2}$ независимо от начальных условий? Т.е.траектория догоняющей точки в месте их встречи всегда касается горизонтальной оси или "втыкается" в нее под некоторым углом? Вроде бы численно выходит, что всегда касается.

[мат-ламер]

Norma в сообщении #1605482 писал(а):

В полярной системе координат

А чем обусловлен выбор такой системы координат? Круговой симметрии вроде нет. В Википедии ("Кривая погони") есть ответ. И по нему непохоже, что надо использовать полярную систему.

[Geen]

мат-ламер в сообщении #1605550 писал(а):

И по нему непохоже, что надо использовать полярную систему.

Полярные системы могут быть разные....

[мат-ламер]

Вот тут товарищ решает в декартовых координатах. Но является ли его подход оптимальным, не знаю. Может в полярных координатах и проще будет.

[svv]

А вот тут один товарищ решает в векторных обозначениях.

[sergey zhukov]

Да, эту задачу на этом форуме решали уже раз пять минимум. Я даже нашел решение моей системы ДУ. Только ответ, правда:

$$l(\varphi)=\frac{l_0}{cos(\varphi)tg^{(\frac{u_b}{u_a})}(\frac{\varphi}{2}+\frac{\pi}{4})}$$

Как решали - неясно. Выяснил, что кривая действительно всегда касается горизонтали в конце погони.

[sergey zhukov]

Интересно, что в этой задаче средние скорости лисы по вертикали и горизонтали (т.е. связь среднего синуса и косинуса на этом времени) связаны просто:

$$\frac{\int\limits_{0}^{T}\cos(\varphi)dt}{T}=1-\bigg(\frac{\int\limits_{0}^{T}\sin(\varphi)dt}{T}\bigg)^2$$

Если бы доказать это равенство, то среднюю скорость лисы по $y$ (и время погони, соответственно) сразу можно найти.

[svv]

sergey zhukov в сообщении #1605612 писал(а):

Как решали - неясно.

Они сначала получили Ваши дифференциальные уравнения, а потом разделили первое на второе:
$\dfrac{\dot{\ell}}{\dot{\varphi}}=\dfrac{d\ell}{d\varphi}=\ell\;\dfrac{u_A\sin \varphi -u_B}{u_A\cos \varphi }$
Получается уравнение с разделяющимися переменными:
$\dfrac{d\ell}{\ell}=\left(\tg\varphi-\dfrac{u_B}{u_A}\dfrac 1{\cos\varphi}\right)d\varphi$
$\ln\ell=-\ln\cos\varphi-\dfrac{u_B}{u_A}\ln\tg\left(\dfrac {\varphi} 2+\dfrac{\pi}4\right)+C$

[sergey zhukov]

svv
Действительно, все же просто. Я тоже делил, только как-то не так.
Значит, траектория погони довольно легко находится в явном виде, если перейти в СО лисы, т.е. приписать зайцу одновременно две скорости:

Но отсюда нельзя так просто перейти в СО, где оба движутся.