Аналог банах. алгебры гельдер. фун-ий, с допуском sup f = ꝏ

[_hum_]

Пусть $(X,\rho)$ - ограниченное метрическое пространство. Рассмотрим на нем функции $f=f(x)$, для которых конечна величина:

$$||f||_\alpha = \sup_{x}|f(x)| + \mathrm{Hol}_\alpha(f), \qquad \hbox{\rm где}\quad\mathrm{Hol}_\alpha(f)=\sup_{x\neq y}{|f(x)-f(y)| \over\rho^\alpha(x,y)}.$$

Тогда известно, что множество таких функций с нормой $||\cdot||_\alpha$ образуют банахову алгебру.

Как видно, эти функции автоматически получаются ограниченными. Существует ли какой-нибудь близкий аналог для неограниченных функций (но пространство все же ограничено)?

Я нашел случай, когда допускается, что $(X,\rho)$ неограничено + локально компактное сепарабельное, и тогда можно вводить норму

$$||f||'_\alpha =|f(x^o)| + \mathrm{Hol}_\alpha(f), \qquad \hbox{\rm где}\quad\mathrm{Hol}_{\alpha}(f)=\sup_{x\neq y}{|f(x)-f(y)| \over\rho^\alpha(x,y)},$$

где $x^o$ -- некоторая фиксированная точка. В этом случае пространство тоже получается банаховым, но уже не является банаховой алгеброй.

А хотелось бы случай, когда:
- пространство ограничено (+ локально-компактное, сепарабельное, сигма-компактное);
- функции включают неогранченные;
- получается банахова алгебра [или хотя бы алгебра + банахово пространство; или плотное в $C(X)$ + банахово пространство].

p.s. Имеет ли смысл копать в сторону нормы наподобие

$$||f||^\Sigma = \sum_{i}2^{-i}||f||_{\alpha, K_i}, \qquadd \hbox{\rm где}\quad ||f||_{\alpha, K_i} - \hbox{\rm норма сужения на компакт}K_i $$

(в предположении, что $X = \cup_i K_i$)?