Почти периодические и периодичекие арифметические функции

[vicvolf]

Поскольку арифметическая функция является функцией натурального аргумента, то для нее можно использовать некоторые определения и утверждения из области почти периодических функций.

Определение 1. Арифметическая функция $f(m),m=1,...,n$ называется почти периодической в смысле Бора, если для любого $\epsilon >0$ существует такое натуральное $l=l(\epsilon)$, что любой отрезок $[a,a+l]$ ($a$- любое натуральное число) содержит по меньшей мере одно натуральное $\tau$, для которого выполняется: $|f(m+\tau)-f(m)|<\epsilon$.

Утверждение 1. Для каждой почти периодической арифметической функции в смысле Бора $f(m),m=1,...,n$ существует конечный предел среднего значения: $\lim_{n \to \infty} {E[f,n]} =\lim_{n \to \infty} \frac {1}{n}\sum_{m \leq n}{f(m)}$.

Определение 2. Арифметическая функция $f(m),m=1,...,n$ является периодической с периодом $T$, отличным от нуля,, если для каждого натурального значения $m$ выполняется $f(m)=f(m+T)$.
Например, периодической c $T=2$ является арифметическая функция $f(m)=sin(m/\pi)$.

Таким образом, периодическая арифметическая функция является частным случаем почти периодической арифметической функции в смысле Бора. Поэтому для периодической арифметической функции справедливо утверждение 1, т.е. существует конечный предел ее среднего значения, который определяется следующим утверждением.

Утверждение 2. Предел среднего значения периодической арифметической функции $f(m),m=1,...,n$ равен:
$\lim_{n \to \infty} {E[f,n]} =\lim_{n \to \infty} \frac {1}{n}\sum_{m \leq n}{f(m)}=\frac {1}{T}\sum_{m \leq T}{f(m)}$,
где $T$ (отличен от нуля) - период арифметической функции $f(m),m=1,...,n$.

Думаю, что они справедливы. Если нет, то прошу менять поправить.

[vicvolf]

Исправлю пример, периодической c $T=2$ является арифметическая функция $f(m)=sin(\pi m)$.

[Combat Zone]

На всякий случай: она тождественно нулевая.

[vicvolf]

Combat Zone в сообщении #1604208 писал(а):

На всякий случай: она тождественно нулевая.

Согласен. Тогда другой пример. Пусть арифметическая функция $f(m)=2,m=2k$ и $f(m)=-1,m=2k+1$, где $k=1,2,...$. Таким образом, $f(m)$ является периодической арифметической функцией с периодом $T=2$. На основании утверждения 2 получим предел среднего значения $f(m)$: $\lim_{n \to \infty}{E[f.n]}=\frac{1}{T}\sum_{m \leq T}{f(m)}=\frac{1}{2}(2-1)=0,5$.