Прямоугольный треугольник — и точка!

[TOTAL]

В прямоугольном треугольнике выбрана точка, для которой сумма $X+Y+Z$ минимальна. Здесь $X$ — расстояние от точки до вершины прямого угла, $Y, Z$ — расстояния от точки до остальных вершин. Доказать, что $(Y/X-1)*(Z/X -1) = 3$.

[wrest]

Это же точка Ферма. У неё очевидное свойство, такое: отрезки, идущие к вершинам, между собой имеют равные углы (по 120 градусов) если все углы треугольника меньше чем 120 градусов. Очевидность следует из "механичеккого" подхода, когда мы сверлим в вершинах треугольника дырки, привязываем равные грузы и...

(картинка из Википедии про точку Ферма).
Ну а дальше я пошёл рабоче-крестьянским путём. Обозначим стороны треугольника как $a,b,c$ и по теореме Пифагора запишем, что
$c^2=a^2+b^2$
а по теореме косинусов запишем что
$a^2=x^2+y^2+xy$ и так для каждой стороны.
Ну и всё. Дальше алгебра, всё получается.

[TOTAL]

wrest в сообщении #1602402 писал(а):

Ну и всё. Дальше алгебра, всё получается.

Правильно!