геометрия, построение вписанного в окружность треугольника

[Стас777]

Уважаемые, будте добры помогите в решении одной не простой задачки.Буду очень благодарен!

В данную окружность вписать треугольник, у которого дано основание, а боковые стороны относятся как a:b (a,b-данные отрезки)

[gefest_md]

К условиям задачи добавляется угол противолежащий основанию. А дальше я выразил высоту опущенную на основание через $a/b,\ b/a,\ c,\ \sin,\ \cos.$

[Brukvalub]

Строим хорду АВ длины с, делим ее точкой М в отношении а : b, а стягиваемую ей дугу -пополам точкой К. Продолжаем МК до пересечения с окружностью во второй точке С. Треугольник АВС - искомый.

[Yu_K]

Только желательно еще все варианты решений учесть. Сколько различных вариантов треугольников в задаче?

[Brukvalub]

Yu_K в сообщении #160162 писал(а):

Только желательно еще все варианты решений учесть. Сколько различных вариантов треугольников в задаче?

Так я, вроде, и не указывал, какую из дуг нужно делить пополам...

[BVR]

Это же задача Аполлония. Множество точек плоскости из которых данный отрезок "виден" в данном отношении.
Точки пересечения окружности Апллония ( с отношением a:b), построенной на данном отрезке, с данной окружностью и даст все решения.

Добавлено спустя 1 минуту 32 секунды:

Вернее, - задача на окружность Аполлония.

[Brukvalub]

BVR в сообщении #160629 писал(а):

Множество точек плоскости из которых данный отрезок "виден" в данном отношении.

Как это понимать?

[BVR]

хотел сократить, а получилось непонятно.
Если дан отрезок АВ, то это множество точек М плоскости, таких, что МА:МВ = a:b. Это окружность Аполлония.
Строим точки M и N на прямой АВ, которые делят отрезок АВ внутренним (АМ к МВ) и внешним (АN к NB) образом в данном отношении. MN - диаметр окружности Аполлония.

Добавлено спустя 5 минут 28 секунд:

Да, надо добавить, что для нахождения всех решений надо строить всю окружность Аполлония.

[Батороев]

Brukvalub писал(а):

Yu_K в сообщении #160162 писал(а):

Только желательно еще все варианты решений учесть. Сколько различных вариантов треугольников в задаче?

Так я, вроде, и не указывал, какую из дуг нужно делить пополам...

Т.к. условием задачи не регламентировано, какая сторона относится к другой в заданном отношении, то по-видимому, можно рассмотреть симметричный вариант, т.е. по решению Brukvaluba поделить хорду AB в отношении b:a (остальное без изменений).

[Brukvalub]

Батороев в сообщении #160642 писал(а):

по-видимому, можно рассмотреть симметричный вариант

Зачем? Ведь симметричный треугольник будет равен уже построенному (см. признаки равенства треугольников).

[Батороев]

Brukvalub писал(а):

Батороев в сообщении #160642 писал(а):

по-видимому, можно рассмотреть симметричный вариант

Зачем? Ведь симметричный треугольник будет равен уже построенному (см. признаки равенства треугольников).

Неужели Вы могли подумать, что я не знаю, что они будут равны?
Я имею в виду два варианта построения треугольников с заданным отношением сторон.

Добавлено спустя 24 минуты 17 секунд:

Другими словами, Вы в решении использовали свойство биссектрисы угла треугольника делить противоположную сторону в отношении, равном отношению прилежащих к углу сторон.
По-видимому, для Yu_K еще необходимо доказать, что хорду AB могут поделить в заданном отношении только биссектрисы двух вписанных углов окружности, опирающихся на эту хорду.

Добавлено спустя 4 минуты 41 секунду:

Т.е. доказать, что других решений нет.

[Brukvalub]

Батороев в сообщении #160648 писал(а):

По-видимому, для Yu_K еще необходимо доказать, что хорду AB могут поделить в заданном отношении только биссектрисы двух вписанных углов окружности, опирающихся на эту хорду.

Что-то для меня это шибко мудро, никак ниасилю

[Батороев]

Гы!
А хотя, ведь можно делить пополам и бОльшую дугу.
Тогда, четыре варианта!

[ewert]

Ну а ежели вернуться к истокам. Бруквально второй пост:

Brukvalub в сообщении #160063 писал(а):

Строим хорду АВ длины с, делим ее точкой М в отношении а : b, а стягиваемую ей дугу -пополам точкой К. Продолжаем МК до пересечения с окружностью во второй точке С. Треугольник АВС - искомый.

Ну и чего тут можно добавить-то, а?...

[Батороев]

ewert писал(а):

Ну а ежели вернуться к истокам. Бруквально второй пост:

Brukvalub в сообщении #160063 писал(а):

Строим хорду АВ длины с, делим ее точкой М в отношении а : b, а стягиваемую ей дугу -пополам точкой К. Продолжаем МК до пересечения с окружностью во второй точке С. Треугольник АВС - искомый.

Ну и чего тут можно добавить-то, а?...

То, что хорду можно поделить, как в отношении a:b, так и b:a.
А также можно пополам поделить, как меньшую из дуг, стягиваемых этой хордой, так и бОльшую.