Запустить задачу на мощном компе

[Dmitriy40]

С примерами во втором пункте я несколько ошибся, с $1/6$ нет допустимых повторов на второе число, а вот с $1/7$ есть: $1/7+1/56=1/8+1/28$ (при этом оба раза надо перебрать третье число в интервале $641\ldots1280$). А для первого числа $1/8\ldots1/10$ можно пропустить по три значения второго числа, а для $1/12$ во втором числе можно пропустить $\{20, 24, 28, 30\}$. Разумеется у меня все знаменатели в списке упорядочены по возрастанию и перебор идёт в обратном порядке, от больших к меньшим, потому и можно некоторые меньшие пропускать. При прямом переборе пропускать можно бОльшие знаменатели.

[Dmitriy40]

$a(41)=6$:
n=41=85691034670497533/19914562703599200: 6032783856100733/19914562703599200=[5, 10, 341, 1789320, 5792150, 5624623322208], len=6

[denny]

Dmitriy40 в сообщении #1601208 писал(а):

Я Вас поздравляю — все ранее поставленные задачи выполнены: и $a(31\ldots40)$ посчитаны, и первая 6-ка найдена:
n=40=2078178381193813/485721041551200: 135294214989013/485721041551200=[6, 10, 87, 2618, 6737367, 232301367698400], len=6

Дмитрий, большое спасибо!! В принципе осталось ждать когда редакторы определяться с терминологией, думаю скоро опубликуют. Для меня это не вопрос "самоутверждения", просто здорово, когда что-то интересное получается.

[Dmitriy40]

$a(42)=6$:
n=42=12309312989335019/2844937529085600: 929562872992619/2844937529085600=[5, 8, 731, 2668, 206260422, 6652994400], len=6

$a(47 \ldots 49) \geq 6$.
$a(46)$ под вопросом, слишком большой перебор для длины 5 (больше 10млрд вариантов четвёртого числа после $1/3+1/12$ и третьего около минимума $48593$).

[Dmitriy40]

Очень забавно ведётся себя скорость счёта при повторном запуске, когда ограничение на последнее перебираемое число стоит и сверху и снизу, например $10^5\ldots10^6$: сначала перебор очень быстр так как верхний предел меньше нижнего ограничения, потом постепенное замедление когда верхний предел попадает в диапазон ограничений, потом сильнее замедление когда весь проверяемый интервал укладывается в заданный диапазон, потом снова ускорение когда верхний предел выходит за диапазон, и в конце снова очень быстро когда и нижний предел выходит за диапазон.

[Dmitriy40]

$a(43)=6$:
n=43=532145396070491417/122332313750680800: 42816141067768217/122332313750680800=[3, 82, 224, 170085, 5269994730, 1775940452262900], len=6

[Dmitriy40]

$a(44)=6$:
n=44=5884182435213075787/1345655451257488800: 844094821074368213/1345655451257488800=[2, 9, 62, 29450, 134330350, 200301702400800], len=6

[Dmitriy40]

$a(45)=6$:
n=45=5914085889685464427/1345655451257488800: 531464084655509227/1345655451257488800=[4, 7, 481, 83538, 67142354400, 12889420031202], len=6

На этом я закончу, $a(46)$ слишком много перебирать для доказательства превышения пятёрки, а найти пятёрку проблематично (с небольшими числами проверил, нету). Моя программа на асме почти не помогает, надо переписывать под длинные деления, а это откровенно лень (да и скорость счёта упадёт в разы).

[maxal]

denny в сообщении #1600955 писал(а):

Посмотрим на расстояния от $H(n)$ до ближайших целых
$H(n)-\lfloor H(n) \rfloor$ и $\lceil H(n) \rceil - H(n)$
(все вычисления ведутся в Rationals) "в духе" именно гармонического ряда.
Появилась интуитивная идея: разложить эти расстояния на египетские дроби и найти кратчайшее разложение.

...

https://oeis.org/draft/A363937

Последовательность A363937 определена как "Minimal number of terms of an Egyptian fraction to be added to, or subtracted from, harmonic number H(n) to get an integer." Однако, похоже, что ниоткуда не следует, что "to get an integer" даст именно $\lfloor H(n) \rfloor$ или $\lceil H(n) \rceil$. Почему, например, кратчайшая египетская дробь здесь не может соответствовать числу $\lfloor H(n) \rfloor-1$ или $\lceil H(n) \rceil+1$ ?