Треугольники по заданным длинам серединных перпендикуляров

[Mirage_Pick]

Длины отрезков серединных перпендикуляров к сторонам треугольника с концами на сторонах треугольника равны 20, 18, 15. Найти стороны треугольника.

[Rak so dna]

$\left(\dfrac{960}{7},\dfrac{720}{7},48\right)$

или

$\left(20\sqrt{\dfrac{10\sqrt{97}}{11} - 2}, 15\sqrt{\dfrac{10\sqrt{97}}{11} - 2}, 30\sqrt{\dfrac{2}{11}\left(5\sqrt{97} - 43\right)}\right)$

[Dendr]

Для треугольника с заданными сторонами $a\ge b\ge c$ связь сторон с определенными в условии отрезками может быть записана в таком виде:

$$(a^2+b^2-c^2)^2=\frac{4a^4b^2}{a^2+4h_a^2}=\frac{4a^2b^4}{b^2+4h_b^2}; (a^2-b^2+c^2)^2=\frac{4a^2c^4}{c^2+4h_c^2}$$

Здесь порядок $h_a, h_b, h_c$ может быть любой, от подстановки будет зависеть тройка $(a, b, c)$.
Повозившись, можно в итоге прийти к уравнению 4 порядка, здесь явно должен быть путь попроще...

А Вольфрам подсказал вот такое решение:
$\displaystyle {\frac{18}{\sqrt{7}}\left(6, 5, 4\right)}$

[alisa-lebovski]

Так сколько же все-таки разных ответов?

[Rak so dna]

Угу. Забыл поменять максимальный и средний отрезки серединных перпендикуляров местами — и потерял ещё пару треугольников:

$\left(\dfrac{960}{7},\dfrac{720}{7},48\right)$

$\left(20\sqrt{\dfrac{10\sqrt{97}}{11} - 2}, 15\sqrt{\dfrac{10\sqrt{97}}{11} - 2}, 30\sqrt{\dfrac{2}{11}\left(5\sqrt{97} - 43\right)}\right)$

$\left(\dfrac{108}{\sqrt{7}}, \dfrac{90}{\sqrt{7}}, \dfrac{72}{\sqrt{7}} \right)$

$\left(\dfrac{288}{77}\sqrt{7(8\sqrt{421} + 139)},\dfrac{240}{77}\sqrt{7(8\sqrt{421} + 139)},16\sqrt{\dfrac{1}{7}(8\sqrt{421} - 113)}\right)$

Теперь, наверное, все