Количество решений СЛАУ

[Igor999]

Сколько решений имеют системы?

x+2y-z=7
2x+y+2z=9

и

x+2y-z=7
2x+4y-2z=9

[ewert]

а Ваши гипотезы? (попытайтесь решить, исключив, например, иксы)

[Igor999]

Можно ли решить так:

\[ \left( \begin{gathered} 1 \vdots 2 \vdots - 1 \vdots 7 \hfill \\ 2 \vdots 1 \vdots 3 \vdots 9 \hfill \\ \end{gathered} \right) \]

\[ \left( \begin{gathered} 1 \vdots 2 \vdots - 1 \vdots 7 \hfill \\ 0 \vdots - 3 \vdots 5 \vdots - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right) \]

\[\[ \left( \begin{gathered} - 3 \vdots 0 \vdots - 7 \vdots - 11 \hfill \\ 0 \vdots - 3 \vdots 5 \vdots - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right) \]

\[ \left( \begin{gathered} 1 \vdots 0 \vdots 2.333 \vdots 3.667 \hfill \\ 0 \vdots 1 \vdots - 1.667 \vdots 1.667 \hfill \\ \end{gathered} \right) \]

И как отсюда понять сколько решений имеет первая система: единственное, бесконечное множество или нет решений?

[mkot]

Igor999 писал(а):

\[\left( \begin{gathered} 1 \vdots 2 \vdots - 1 \vdots 7 \hfill \\ 2 \vdots 1 \vdots 3 \vdots 9 \hfill \\\end{gathered} \right) \]

Igor999 писал(а):

x+2y-z=7
2x+y+2z=9

Сравните и найдите ошибку.

И вообще, что за странная запись. Должно быть так:

$$ \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -1 & 7 \\ 2 & 1 & 2 & 9 \end{array} \right). $$

\left(
\begin{array}{rrr|r}
1 & 2 & -1 & 7 \\
2 & 1 & 2 & 9
\end{array}
\right).

[Nikita.bsu]

Для трех переменных можно воспользоваться геометрической интерпритацией. Как могут распологаться плоскости в пространстве? (пересекаться по прямой, быть паралллельными и совпадать). А вообще эта задача на теорему Кронекера - Капелли ( http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 0%BB%D0%B8 ).

[Igor999]

А если записать решение таким образом?

\left( \begin{gathered} \text{1 2 - 1 | 7} \hfill \\ \text{2 1 3 | 9} \hfill \\ \end{gathered} \right) \sim \left( \begin{gathered} \text{1 2 - 1 | 7} \hfill \\ \text{0 - 3 5 | - 5} \hfill \\ \end{gathered} \right) \sim \left( \begin{gathered} \text{ - 3 0 - 7 | - 11} \hfill \\ \text{0 - 3 5 | - 5} \hfill \\ \end{gathered} \right) \sim \left( \begin{gathered} \text{1 0 2}\text{,333 | 3}\text{,667} \hfill \\ \text{0 1 - 1}\text{,667 | 1}\text{,667} \hfill \\ \end{gathered} \right) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} - 3x - 7z = - 11 \hfill \\ - 3y + 5z = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 3x = 11 - 7z \hfill \\ 3y = 5z + 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{11}} {3} - \frac{7} {3}z \hfill \\ y = \frac{5} {3}(z + 1) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $

[antbez]

Вычисления не проверял. Но это- фундаментальное решение с одной свободной переменной, то есть отсюда видно количество решений...

[mkot]

Igor999 писал(а):

А если записать решение таким образом?

antbez писал(а):

Вычисления не проверял. Но это- фундаментальное решение с одной свободной переменной, то есть отсюда видно количество решений...

Вычисления (если не считать ужасного перехода к приближённым десятичным дробям)
правильные. Но из всех вычислений не сделано никакого вывода. Ведь вопрос: сколько решений?
Ответ на этот вопрос не дан.

Igor999, я уже выше написал как можно оформить матрицы, запись получится короче, и столбцы не поползут.

[Igor999]

Получается:т.к. ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы, система совместна, число уравнений меньше числа неизвестных, система имеет бесконечное множество решений.

[Brukvalub]

Верно.

[Igor999]

А во второй системе получается:

$\left( \begin{gathered} \text{1 2 - 1 | 7} \hfill \\ \text{2 4 - 2 | 9} \hfill \\ \end{gathered} \right) \sim \left( \begin{gathered} \text{1 2 - 1 | 7} \hfill \\ \text{0 0 0 | - 5} \hfill \\ \end{gathered} \right)$

Ответ: система несовместна - система не имеет решений

[Brukvalub]

Верно.