простая задача из сопромата

[Mikula]

Добрый день! Скажите, правильно ли я понимаю следующую задачу.

Натягиваем деревянный брусок прямоугольного сечения (см. схему).



Брусок закреплён в двух местах - точки $A$ и $B$; натягивается тросом с силой $F$. В одном месте брусок заужен до меньшего прямоугольного же сечения размером $b \times h$, где сторона $h$ параллельна направлению натяжения.

Правильно ли я понимаю, что:
1) Вид заделки в точках $A$ и $B$ не имеет значения.
2) Наибольшее напряжение, возникшее в узком сечении (напряжение, при котором происходит слом бруска), равно

$\sigma=\frac{Fl}{W}=\frac{6Fl}{bh^2}$ ?

(Здесь $F$ - максимальное значение силы, зарегистрированное в испытании.)

[sergey zhukov]

Mikula
Непонятно, правильно вы понимаете задачу или нет, поскольку сама задача не поставлена. Если задача - найти наибольшее нормальное напряжение в балке в указанном сечении, то решение похоже на правильное (и от заделки не зависит). Если там с моментом инерции прямоугольника все правильно.

[Mikula]

Да, задача именно такая. Тогда дополнительно спрошу - ничего, что брусок не одинаково узкого сечения по всей длине, а стал толще на части плеча? Это не скажется на величине искомого наибольшего напряжения?

Спрашиваю потому, что, проведя такое испытание несколько раз, всегда получал напряжения раза в два меньшие, чем предел прочности на изгиб у данной породы дерева при влажности 30%. (При этом влажность моего бруска не измерял. Но если она меньше, то прочность должна быть ещё больше. А если влажность более 30%, то, как написано в учебнике, прочность уже почти не уменьшится.)

[sergey zhukov]

Mikula
Если задача практическая, то это посложнее, конечно. Как я понял, вы хотите измерить характеристики древесины. В частности, предел прочности.

Сама по себе форма и сечение рычага (т.е. та часть бруска, которая передает изгибающий момент на интересующее сечение) не важна. Но вот концентрация напряжений в месте перехода толстой части балки в тонкую может быть важной. Распределение напряжений по сечению балки достаточно простое (как вы подсчитали) только в местах, удаленных от заделок и от резких переходов геометриии (например, резкой смене площади сечения). Т.е. простой расчет хорош для длиных однородных участков без сосредоточенных нагрузок. Если излом происходит в месте стыковки толстой и тонкой частей (наверняка так и есть), то сюда вносит вклад концентрация напряжений, которая увеличивает напряжения в тонкой части в сравнении с простым расчетом.

Кроме того, разрушение материала может происходить под влиянием всех напряжений в данной точке, а не только какого-то одного из них. Т.е. если учитывать еще и касательное напряжение в сечении от приложенной силы, то в вашем случае максимальное главное нормальное напряжение будет еще больше, чем вы подсчитали. Чтобы испытывать балку чистым изгибающим моментом, нужно ее не тянуть, а заделать так же, как слева и вращать заделку.

И, наконец, дерево - сложный, неизотропный и неоднородный материал. Я на самом деле не знаю, как правильно испытывать его на прочность. Даже более простые материалы испытывают более прямыми способами (на одноосное растяжение). Думаю, в вашем случае в основном виновата концентрация напряжений.