Производная показательной функции

[melnikoff]

Формула для производной показательной функции выводится следующим образом:
$\frac{da^x}{dx} = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = |z = a^h - 1| = a^x \ln a \lim\limits_{z\rightarrow 0}\frac{1}{\ln (z + 1)^{\frac{1}{z}}}$.
И вот тут в знаменателе мы видим второй замечательный предел под знаком логарифма.
Зная чему равен второй замечательный предел, находим $\frac{da^x}{dx} =a^x \ln a$.
Вопрос в следующем. Представим, что мы не знаем чему равен второй замечательный предел. Можно ли в этом случае получить данную производную? Поясню идею. Последнее выражение в цепочке равенств выше можно представить как произведение функции на какую-то константу:
$a^x \ln a \lim\limits_{z\rightarrow 0}\frac{1}{\ln (z + 1)^{\frac{1}{z}}} = f(a, x) \cdot C$
$C = \lim\limits_{z\rightarrow 0}\frac{1}{\ln (z + 1)^{\frac{1}{z}}}$.
Интуиция подсказывает, что из этого должно следовать $C=1$, но доказать это у меня не получается.
Можно ли это доказать?

[mihaild]

А что нам известно про показательную функцию? Как минимум нужно уметь отличать $a^x$ от $2a^x$.
Если же известна производная логарифма, то с пределами возиться не надо: $\ln a = (x \ln a)' = (\ln a^x)' = \frac{(a^x)'}{a^x}$.

[melnikoff]

Два первых вопроса непонятны. Как отличать? Ну, глазами, наверное...

Получается, если соединить ваш вывод с моим, то это можно рассматривать как вывод второго замечательного предела?
PS. И, кстати, мой вопрос остаётся открытым.

[mihaild]

melnikoff в сообщении #1598349 писал(а):

Два первых вопроса непонятны. Как отличать? Ну, глазами, наверное...

Как определяется $a^x$?

melnikoff в сообщении #1598349 писал(а):

Получается, если соединить ваш вывод с моим, то это можно рассматривать как вывод второго замечательного предела?

Я не уверен, что в выводе производной логарифма не используется этот предел.

melnikoff в сообщении #1598349 писал(а):

PS. И, кстати, мой вопрос остаётся открытым.

Вопросы "доказать что-то без использования такой-то теоремы" довольно часто не имеют удовлетворительного ответа, потому что непонятно, как отличить, используется ли это утверждение в выводе или нет.

[wrest]

melnikoff в сообщении #1598340 писал(а):

Вопрос в следующем. Представим, что мы не знаем чему равен второй замечательный предел.

Тут вопрос определений. Например, второй замечательный предел это одно из определений числа $e$.
В вашей записи, нужно ведь знать что такое $\ln()$. Это логарифм по основанию... какому? Что такое $e$? И т.п.
Как выше указал ув. mihaild можно посчитать просто как производную сложной функции, но надо знать уже какую-то, например что $(\ln x)'=1/x$ или что $(e^x)'=e^x$
Во втором случае имеем из свойства логарифма $a^x=e^{x\ln a}$ и значит $(e^{x \ln a})'=(x \ln a)' e^{x \ln a}=a^x \ln a$
Получается как бы замкнутый круг...

[melnikoff]

mihaild в сообщении #1598352 писал(а):

Как определяется $a^x$?

Показательная функция $a^x$ для $x \in \mathbb{R}$ определяется
1) в случае рационального $x$, как $a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}$
2) в случае иррационального $x$, как $a^x = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}a^{r_n}$, где $r_n$ - последовательность рациональных чисел, такая что $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}r_n = x$.

Мне до сих пор не понятно куда вы, mihaild, клоните.

-- 21.06.2023, 15:34 --

Ещё раз попробую задать свой вопрос.
Выражение для производной показательной функции, полученное из определения производной, представимо как произведение $f(a, x)$ ($a$ определяет показательную функцию, а $x$ - это аргумент функции) и константы, независящей от конкретной показательной функции и её аргумента:
$a^x \ln a \lim\limits_{z\rightarrow 0}\frac{1}{\ln (z + 1)^{\frac{1}{z}}} = f(a, x) \cdot C$

Возникает вопрос, а возможно ли вообще такое, что $C \neq 1$? Может есть какая-то лемма или более частный факт из которого следует, что все производные целого класса функций не могут содержать константу в качестве множителя?

[mihaild]

Я клоню к тому, что в этой области очень много всяких утверждений, которые можно выводить друг из друга в произвольном порядке, а потому чтобы получить какое-то без какого-то, нужно очень четко оговорить маршрут.
А $\ln$ как определяется?

[Combat Zone]

melnikoff в сообщении #1598409 писал(а):

Ещё раз попробую задать свой вопрос.
Выражение для производной показательной функции, полученное из определения производной, представимо как произведение $f(a, x)$ ($a$ определяет показательную функцию, а $x$ - это аргумент функции) и константы, независящей от конкретной показательной функции и её аргумента:
$a^x \ln a \lim\limits_{z\rightarrow 0}\frac{1}{\ln (z + 1)^{\frac{1}{z}}} = f(a, x) \cdot C$

Возникает вопрос, а возможно ли вообще такое, что $C \neq 1$? Может есть какая-то лемма или более частный факт из которого следует, что все производные целого класса функций не могут содержать константу в качестве множителя?

Какую константу, какой множитель? Как вы отличаете, где кончается константа и начинается все остальное? А ну как я скажу, что константа уже есть, и это $\ln a$, а он 1 не равен?
Изложите свой вопрос аккуратнее.

[melnikoff]

Combat Zone в сообщении #1598412 писал(а):

А ну как я скажу, что константа уже есть, и это $\ln a$, а он 1 не равен?

Нет, $\ln a$ как раз не константа, так как зависит от $a$.

[Combat Zone]

melnikoff
Но $a$-то константа.

[melnikoff]

Combat Zone, нет, на классе показательных функций $a$ - это переменная.

[Combat Zone]

Да что вы говорите.
Показательная функция - вида $a^3$ или вида $2^x$?
Выберите, заодно выберется переменная.