Прошу небольшого разъяснения о собственных формах колебаний

[AlexeyT]

Решение задачи о собственных колебаниях можно искать в виде:
$V(t,x)=W*e^(^i^*^w^*^t^)$ (1)

Вторая производная по времени t равна:
$V''(t,x)=-w^2*W*e^(^i^*^w^*^t^)$ (2)

Сравнивая (1) и (2) получаем, что:
$V''(t,x)=-w^2*V(t,x)$ (3)

Меня стал волновать вопрос, выражение (3) справедливо только для собственных колебаний, либо его можно применить так же и для вынужденных? Когда хочется исключить вторую производную по времени из краевой задачи?

при написании формул не забывайте о знаках доллара - их наличие существенно; знак умножения предпочтительнее в виде $\cdot$, чем $*$. Частично подправил // photon

[Zai]

AlexeyT писал(а):

Сравнивая (1) и (2) получаем, что:
V''(t,x)=-w^2*V(t,x) (3)

При определении собственных частот и форм колебаний - данная замена используется для определения неизвестных величин w из граничных условий.
Если у Вас в правой части есть член, содержащий известную величину w_0, Вы можите найдти частное решение указанного Вами вида (1), но оно не будет удовлетворять граничным условиям.

[chiba]

AlexeyT писал(а):

Когда хочется исключить вторую производную по времени из краевой задачи?

О какой краевой задаче идет речь? И не понятно почему решение зависит от двух переменных?
Уравнения колебаний это задача Коши (задача с начальными условиями). Может вы изначально решаете одномерное волновое уравнение?

AlexeyT писал(а):

Меня стал волновать вопрос, выражение (3) справедливо только для собственных колебаний, либо его можно применить так же и для вынужденных?

Если в качестве вынуждающей силы колебаний у вас выступает гармоническая функция (синус или косинус), то соотношение (3) выполняется. Единственно, что функция $V$ будет зависеть от частоты вынуждающей силы.

[Munin]

Задача о собственных колебаниях происходит из общей задачи о распространении волн. Имея постоянные по времени граничные условия, задача о распространении волн может быть разложена по Фурье по времени, и тогда волны оказываются суперпозицией собственных колебаний, каждое со своей частотой и амплитудой. Поскольку каждое собственное колебание гармоническое, то для него можно заменить

$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}V$$

на

$$-\frac{\omega_i^2}{c^2}V$$

и получить из гиперболического уравнения эллиптическое. Очевидно, для каждой моды $\omega_i$ своя, и для колебания, не являющегося собственным, такой замены сделать нельзя.

Если колебания вынужденные, то есть граничные условия или правая часть не постоянные, а периодические по времени, то решать надо опять задачу о распространении волн. Каждое вынужденное колебание состоит из целого спектра собственных колебаний, так что никакой общей замены, позволяющей избавиться от производной по времени, здесь не получится.

Найти вынужденные колебания, зная собственные колебания, можно, например, таким образом:
1. Собрать из собственных колебаний функцию реакции на мгновенное возбуждение (дельта-функцию).
2. Наложив условие сшивки с нужным периодом по времени, найти функцию реакции на периодические мгновенные возбуждения (дельта-функции через каждый $T$).
3. И наконец, свёрткой результата п. 2 с реальной функцией возбуждения по времени за период, найти окончательно вынужденное колебание на протяжении периода.

[chiba]

Munin писал(а):

Задача о собственных колебаниях происходит из общей задачи о распространении волн.

Не согласен. Задача о колебаниях, в том числе и собственных вполне самостоятельная. Если изначально не стоит задача изучения волнового движения, то и привлекать его к исследованию колебаний нецелесообразно.

Munin писал(а):

Если колебания вынужденные, то есть граничные условия или правая часть не постоянные, а периодические по времени, то решать надо опять задачу о распространении волн.

Существует совершенно корректная задача о вынужденных колебаниях не имеющая никакого отношения к распространению волн. При этом никаких граничных условий не требуется.

[Munin]

chiba в сообщении #159496 писал(а):

Не согласен. Задача о колебаниях, в том числе и собственных вполне самостоятельная.

В каком смысле самостоятельная? В природе все собственные колебания - частный случай нестационарных волновых явлений.

chiba в сообщении #159496 писал(а):

Существует совершенно корректная задача о вынужденных колебаниях не имеющая никакого отношения к распространению волн.

Вы уверены, что не имеющая?

[chiba]

Munin писал(а):

В каком смысле самостоятельная? В природе все собственные колебания - частный случай нестационарных волновых явлений.

Не все. Например, собственные колебания математического маятника.

Munin писал(а):

Вы уверены, что не имеющая?

Уверен.

[Munin]

chiba в сообщении #159520 писал(а):

Не все. Например, собственные колебания математического маятника.

Частный случай движения общего вида.

chiba в сообщении #159520 писал(а):

Уверен.

Приведите.

[chiba]

Munin писал(а):

Частный случай движения общего вида.

Как и динамика Ньютона частный случай релятивистской динамики. Обычно, никому не приходит в голову рассчитывать траекторию брошенного камня по формулам ОТО. Бритва Оккама полезная штука.

Munin писал(а):

Приведите.

Пожалуйста. Задача о малых колебаниях математического маятника под действием гармонической силы.
Или может быть, вы еще собираетесь описывать с помощью волнового уравнения автоколебания часового механизма?

[Munin]

chiba в сообщении #159675 писал(а):

Бритва Оккама полезная штука.

Да уж... А понимание происхождения изучаемого объекта - не менее полезная. Собственные колебания - это всегда особые точки колебаний вынужденных. Это позволяет им образовывать множество решений, например (в остальных случаях в физике выполняется существование и единственность решения).

chiba в сообщении #159675 писал(а):

Пожалуйста. Задача о малых колебаниях математического маятника под действием гармонической силы.

Снова подменяете ДУЧП ОДУ. Простая придирка к слову "волны", неинтересно.

[chiba]

Munin писал(а):

А понимание происхождения изучаемого объекта - не менее полезная.

Понимание процесс многоуровневый. Если вы привыкли познавать частности через общее, то большинство предпочитает обратный процесс. Непонятно только почему вы ограничились только одномерным волновым уравнением. Почему не начать с трехмерных волн или вообще с нелинейных волновых процессов?
Для студентов можно и обычную задачу на закон Кулона запилить через уравнения Максвелла или школьников учить умножать на примере матриц. Только толку от такого подхода будет мало.
Другое дело если вопрос о колебаниях возник при рассмотрении волновых явлений. Только из контекста я этого не увидел.

Munin писал(а):

Снова подменяете ДУЧП ОДУ. Простая придирка к слову "волны", неинтересно.

Если это придирка, то объясните мне недалекому, где в математическом маятнике будет сидеть волновое уравнение? Может я что-нибудь в этой жизни упустил?
P.S. Думаю, что дискуссию на этом можно прекратить, поскольку мы уходим в методические вопросы.

[AlexNew]

Munin писал(а):

Собственные колебания - это всегда особые точки колебаний вынужденных. Это позволяет им образовывать множество решений, например (в остальных случаях в физике выполняется существование и единственность решения).

поясните пожалуйсто

[Munin]

chiba в сообщении #159887 писал(а):

Понимание процесс многоуровневый. Если вы привыкли познавать частности через общее, то большинство предпочитает обратный процесс.

Я ничего не говорил о своих предпочтениях. Но если вовремя не увидеть перспективу, то может закрепиться опасное заблуждение, что отдельные деревья есть, а леса-то и нет.

chiba в сообщении #159887 писал(а):

Непонятно только почему вы ограничились только одномерным волновым уравнением.

Непонятно, почему вы сделали такой вывод. Я подразумевал произвольную размерность. В том числе для квантовой механики и больше 3.

chiba в сообщении #159887 писал(а):

Если это придирка, то объясните мне недалекому, где в математическом маятнике будет сидеть волновое уравнение?

Вот этот ваш вопрос - придирка. Перебьётесь, а? В маятнике не волновое уравнение, а его "нульмерный" аналог - уравнение движения маятника.

AlexNew в сообщении #160013 писал(а):

поясните пожалуйсто

С удовольствием. Здесь то же самое, что и резонанс в обыкновенном осцилляторе (например, маятник, колебательный контур). Подадим на систему гармоническую вынуждающую силу (для маятника просто силу, а для волнового уравнения это должны быть изменяющиеся гармонически по времени граничные условия, или "правая часть" - воздействие, приложенное внутри области решения). В системе установится какой-то периодический волновой процесс. Он будет иметь конечную амплитуду, пропорциональную амплитуде воздействия. Физически это будет связано с тем, что вынуждающее воздействие полпериода будет передавать энергию в систему, а полпериода - забирать её обратно, "подтормаживать" систему.

И теперь будем менять частоту воздействия. Коэффициент пропорциональности будет меняться. Причём даже нельзя сказать, что он будет меняться одинаково для всей системы. Одновременно волновой процесс будет как-то перераспределяться по системе, то есть коэффициент пропорциональности, взятый для одной фиксированной точки $\mathbf{x}_0,$ будет образовывать одну функцию от частоты, а для другой точки $\mathbf{x}_1$ - другую. Разумеется, для "нульмерного" осциллятора таких тонкостей не будет, да и не важны они пока. Главное - понять, что существует некоторая функция реакции установившихся колебаний в системе, от частоты воздействия.

И наконец, в системе существуют собственные колебания, которые происходят даже при нулевом внешнем воздействии. В принципе, то, что говорилось раньше, неполно: на любое вынужденное колебание в системе может быть наложено некоторое множество свободных, как будто "заложенных изначально". При этом суммарное колебание перестанет быть периодическим по времени: ведь периоды вынужденного и собственных колебаний не равны. Но картина изменяется, когда периоды совпадают: тогда свободное колебание подходящей частоты начинает раскачиваться за счёт внешнего воздействия. Даже если сначала оно имело нулевую амплитуду. Возникает резонанс. Периодическое по времени вынужденное решение, о котором речь шла в предыдущем абзаце, исчезает. А если посмотреть на соседние частоты, то видно, что амплитуда установившегося периодического решения уже становится велика, и уходит в бесконечность. Если записывать функцию реакции от частоты аналитически, то это будет соответствовать особенности типа полюса

$$\frac{1}{\omega-\omega_0}.$$

В исследовании таких функций и их особенностей активно применяют ТФКП.

Так вот, для обычного резонанса в обычном осцилляторе будет одна собственная частота и одна особенность. А для резонатора - набор собственных частот, не обязательно кратных друг другу, каждая из которых связана со своим собственным колебанием. И каждая частота даст свою особенность.

Получается, что собственные колебания - это решения необычной математической постановки задачи: дана функция, найти её полюсы (или нули, если речь об обратной функции). Понятное дело, что результат тут может быть множественный. Сравните с другой постановкой задачи: даны условия, найти решение, соответствующее этим условиям. Такая постановка в физике основная (условия задаются, например, постановкой эксперимента, а решение должно показать, что в этом эксперименте при таких условиях произойдёт). Здесь просто физическим смыслом требуется, чтобы решение всегда бы было, и всегда было бы одно. Ведь мы не ожидаем от природы, что она не будет знать, как поступить, или наоборот, отреагирует сразу двумя способами :-)

[AlexNew]

Munin писал(а):

Получается, что собственные колебания - это решения необычной математической постановки задачи: дана функция, найти её полюсы (или нули, если речь об обратной функции).

хм... как то я не заметил такой подход раньше, спасибо!