Площадь треугольника и сумма длин биссектрис

[GAE]

Пусть $L$ - сумма длин биссектрис треугольника, а $S$ - площадь треугольника.
Несложно доказать, что $S < \frac{1}{12}L^2$. Но сделать это неравенство точным или уменьшить в нём константу $\frac{1}{12}$ у меня что-то не получилось. Можно ли это сделать в принципе?

Вопрос возник в связи со следующей задачей, которая и предлагается для решения всем желающим:
Среди треугольников с целыми длинами сторон и суммой длин всех биссектрис не превосходящей $10$, найти треугольник наибольшей площади. Интересует не только ответ, но и метод решения.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать топикстартеру в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[svv]

Просто информация, без доказательства: минимальное значение $\frac{L^2}{S}$ равно $9\sqrt 3\approx 15.588$, и достигается оно в равностороннем треугольнике.

[Booker48]

svv в сообщении #1597608 писал(а):

минимальное значение $\frac{L^2}{S}$ равно $9\sqrt 3\approx 15.588$, и достигается оно в равностороннем треугольнике.

К сожалению, требование целочисленности сторон и ограничения на сумму длин биссектрис делает эту информацию малоприменимой.
У максимального равностороннего треугольника $(3, 3, 3)$, удовлетворяющего условию, площадь меньше, чем у египетского треугольника $(3, 4, 5)$, сумма длин биссектрис которого чуть меньше $10$. А у треугольника $(4, 4, 4)$ эта сумма чуть больше $10$.

[Dmitriy40]

Не знаю как это доказывать, но тупое решение перебором:

S(a,b,c)=my(p=(a+b+c)/2); sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
Lc(a,b,c)=sqrt(a*b*(a+b+c)*(a+b-c))/(a+b);

for(a=1,20,
   m=floor(sqrt(100+a^2/4));\\Ограничение по высоте к середине стороны a
   for(b=a,m,
      for(c=b,a+b-1,
         L=Lc(a,b,c)+Lc(b,c,a)+Lc(c,a,b);
         if(L>10, next);
         print(a,",",b,",",c,": L^2/S=",L^2/S(a,b,c));
      );
   );
);

1,1,1: L^2/S=15.58845726811989564174701707
1,2,2: L^2/S=16.89592625771707067146285162
1,3,3: L^2/S=18.63087904287106568128381965
1,4,4: L^2/S=20.44002108590463687651233426
1,5,5: L^2/S=22.29489812449404633015624127
1,6,6: L^2/S=24.18155893418801745074600965
1,7,7: L^2/S=26.09099235408205086443549153 -- наибольшее
2,2,2: L^2/S=15.58845726811989564174701707
2,2,3: L^2/S=17.02825395701453094796074105
2,3,3: L^2/S=16.09737438116504499923317119
2,3,4: L^2/S=18.03999004824025833727682598
2,4,4: L^2/S=16.89592625771707067146285162
2,4,5: L^2/S=19.09952814415486582687412618
2,5,5: L^2/S=17.75067977531911005345294470
2,5,6: L^2/S=20.16704333530722169111815517
3,3,3: L^2/S=15.58845726811989564174701707
3,3,4: L^2/S=16.13945610880811209813243220
3,3,5: L^2/S=18.84523056844185806385459578
3,4,4: L^2/S=15.86480082408518507129951605
3,4,5: L^2/S=16.64946539632340692038026203

[GAE]

svv
Именно это я и пытался доказать, но безуспешно. А у Вас есть доказательство?

-- 15.06.2023, 11:28 --

Booker48 в сообщении #1597620 писал(а):

К сожалению, требование целочисленности сторон и ограничения на сумму длин биссектрис делает эту информацию малоприменимой.

Не совсем, это позволяет существенно сократить вычисления в процессе перебора вариантов.

И хочется найти точную оценку снизу для отношения $\frac{L^2}{S}$, выполняющуюся для произвольного треугольника (не обязательно целочисленного).

[B@R5uk]

Положить площадь единичной, ввести два параметра (две стороны, два угла, к примеру), выразить сумму длин, найти экстремум функции двух переменных. Обычное решение в лоб.

Алсо, то, что экстремум достигается в наиболее симметричной фигуре, весьма логично. Например, при фиксированном периметре максимальная площадь достигается в окружности.

[Booker48]

GAE в сообщении #1597630 писал(а):

Booker48 в сообщении #1597620 писал(а):

К сожалению, требование целочисленности сторон и ограничения на сумму длин биссектрис делает эту информацию малоприменимой.

Не совсем, это позволяет существенно сократить вычисления в процессе перебора вариантов.

Непонятно как. В конкретном примере наибольшая площадь у египетского треугольника, а теоретически - у равностороннего. При переборе имеет смысл отбрасывать только треугольники с маленькими суммами длин биссектрис, но в условиях задачи эти длины всё равно надо считать. Наверное, стоит начинать с бОльших периметров и двигаться к меньшим, но не очень понятно с каких значений сторон начинать.

[GAE]

Booker48
Так в этом и заключается задача - чтобы как можно сильнее ограничить перебор и вычисления. Да, какие-то суммы длин биссектрис придется считать, но иногда достаточно посчитать только площадь, чтобы понять, что вариант не подходит.

[svv]

GAE в сообщении #1597630 писал(а):

А у Вас есть доказательство?

Нету.