Система нелинейных уравнений с параметром

[add314]

Задана система уравнений

$$\begin{cases} ax^2+3ax+4^{1+\sqrt{y}}=8 \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1 \\ \end{cases}$$

где $x$, $y$ - переменные, $a$ - произвольная постоянная. Определите все решения заданной системы в зависимости от значений $a$.

Решая, всё время прихожу к неправильному решению. Решаю так:
Выразим $4^{\sqrt{y}}$ из второго уравнения системы и подставим в первое, также сразу выразим $y$ через $x$: $4^{\sqrt{y}}=\frac{1-x}{2}$. Отсюда, $y=\log^2_4\left(\frac{1-x}{2}\right)$. Подставляя выражение для $4^{\sqrt{y}}$ в первое уравнение системы получаем:

$$ax^2+(3a-2)x-6=0$$

Корни последнего уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{2-3a\pm |3a+2|}{2a}\Rightarrow \left[\begin{array}{lr}x=\frac{2}{a}\\x=-3\end{array}\right.$$

Тогда решением системы будут пары $\left(-3;\frac{1}{4}\right),\forall a\in\mathbb{R}$ и $\left(\frac{2}{a};\log^2_4\left(\frac{a-2}{2a}\right)\right),\forall a\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$.

Но промежуток для $a$ для второй пары $(x;y)$ неверный. Я получаю его, задавая условие для подлогарифмического выражения $\frac{a-2}{2a}>0$. Для промежутка $a\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$ действительно будет выполняться $\frac{a-2}{2a}>0$, но не для всех $a$ из этого промежутка вторая пара будет решением системы. Я не могу понять, на каком этапе и что я упускаю.

[Null]

add314 в сообщении #1596817 писал(а):

$4^{\sqrt{y}}=\frac{1-x}{2}$. Отсюда, $y=\log^2_4\left(\frac{1-x}{2}\right)$

Вы там возвели в квадрат и получили новые решения.

[add314]

Null
Да, спасибо большое. Я так долго не мог додуматься до такого простого
$\log_4\left(\frac{a-2}{2a}\right)\geq 0$, откуда $a\in[-2;0)$

-- 07.06.2023, 10:13 --

Ну и $\left(\frac{2}{a};\log_4^2\left(\frac{a-2}{2a}\right)\right)$ будет решением системы только для $a\in [-2;0)$