Упростить рациональную функцию

[DLL]

Предположим у нас есть параметрическая рациональная функция

$$ P = \frac{f(x)}{g(x)}, $$

где $f(x), g(x)$ -- полиномы от одной переменной с параметрами (скажем $a,b,c$).

Допустим мы знаем что у $f$ и $g$ есть общий корень -- параметры $a,b,c$ зануляют результант от $f$ и $g$.
Можно ли символьно сократить и тем самым упростить рациональную функцию?

[Alex Krylov]

См.: результанты, субрезультанты, субрезультантные многочлены

[Alex Krylov]

Пусть $p(x), q(x)$ - многочлены одной переменной $x$. Пусть также $s_i(p, q)$ - i-й субрезультант (См. https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_greatest_common_divisor#Subresultants) многочленов $p(x), q(x)$, а $S_i(p, q)$ соответствующий i-й субрезультантный многочлен ((См. https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_greatest_common_divisor#Subresultants)). Тогда, если $s_0(p, q)=...=s_{d-1}(p, q)=0$, а $s_d(p, q)\ne 0$, то $S_d(p, q)$ - наибольший общий делитель полиномов $p(x), q(x)$ и $S_0(p, q)=...=S_{d-1}(p, q)=0$.

Пример процедуры на языке Maple для вычисления $S_i(p, q)$ (здесь v - переменная полиномов, напр. 'x'):

Цитата:

sub_res:=proc(i,p,q,v)
local m,n,S,T,M1,M2,f,V:
m:=degree(p, v):
n:=degree(q, v):
S := LinearAlgebra[SylvesterMatrix](p, q, v)^+:
T:=LinearAlgebra[SubMatrix](S, [1..m+n-i], [1..n-i, n+1..m+n-i]):
M1:=Matrix([[Matrix(m+n-2*i-1, shape=identity)],[Matrix(1,m+n-2*i-1)]]):
f:=(ii,jj)->v^(i-jj+1):
M2:=Matrix([[Matrix(m+n-2*i-1,i+1)],[Matrix(1,i+1,f)]]):
V:=Matrix([M1,M2]):
return LinearAlgebra[Determinant](V.T):
end proc:

Также в Maple есть подпакет ChainTools пакета RegularChains. А там есть функции SubresultantChain(p, q, x, R) и SubresultantOfIndex(i, src, R). Последняя функция вычисляет субрезультантные многочлены порядка i.

[DLL]

Спасибо! Правильно ли я понимаю что все коэффициенты у $f, g$ при этом фиксированы?
То есть они не могут сами по себе быть полиномами от параметров $(a,b,c)$?

[Alex Krylov]

DLL в сообщении #1596436 писал(а):

Спасибо! Правильно ли я понимаю что все коэффициенты у $f, g$ при этом фиксированы?
То есть они не могут сами по себе быть полиномами от параметров $(a,b,c)$?

Коэффициенты полиномов МОГУТ зависеть от параметров!

Пример:

Дано: $p(x) = x^3+a_2 x^2 + a_1 x + a_0, q(x)=x-b_0$ Найти НОД и условия его существования!
$s_0(p,q)=-a_2 b_0^2-b_0^3-a_1 b_0 - a_0, S_1(p,q)=x-b_0$. Тогда при условии $s_0(p,q)=0$, $S_1(p,q)=x-b_0$ - НОД(p, q).

-- 04.06.2023, 13:15 --

Кстати говоря...

Многие теоремы, относящиеся к локализации корней многочленов, применимы к многочленам без кратных корней. Т.е., чтобы иметь право применить подобного рода теорему, надо предварительно избавиться от кратных корней (найдя помимо всего прочего условия их существования). Вышеперечисленные задачи можно решить, рассматривая субрезультанты (и соотв. субрезультантные многочлены) многочлена и его производной: $s_i(p,\frac{d}{dx}p), S_i(p,\frac{d}{dx}p)$.

[DLL]

Очень ценная штука! Спасибо!
Хорошо, итак мы нашли условия когда существует НОД и сам НОД.
Еще вопрос: а как собственно упростить рациональную функцию?
То есть если бы мы имели задачу без параметров, мы бы просто разделили числитель и знаменатель на НОД..

[Alex Krylov]

Пример: Пусть $p(x)$ - полином 5-й степени и пусть $g(x)$ - НОД, полином 3-й степени. Тогда результат деления $p(x)$ на $g(x)$ ищем в виде $a_2 x^2+a_1 x+ a_0$. Далее делаем $\boldsymbol{collect}(p(x)-g(x)(a_2 x^2+a_1 x+ a_0),x)$ и приравниваем коэффициенты при степенях нулю, получаем переопределенную СЛАУ (относительно $a_2,a_1,a_0$), которая совместна при выполнении вышеуказанных субрезультантных условий. В данном конкретном случае выбираем любые 3 уравнения (желательно, что попроще) данной СЛАУ и получаем значения коэффициентов в явном виде.

[DLL]

Ага точно, при этом еще должны появиться неравенства на параметры в духе некий полином $P(a,b,c) \ne 0$

[Alex Krylov]

Ну вы вот про это условие не забывайте $s_d(p, q)\ne 0$!

[DLL]

Сильная штука. Спасибо!
Из праздного интереса: а если взять рациональную функцию от двух переменных

$$ P = \frac{f(x,y)}{g(x,y)}, $$

то что-нибудь подобное сделать можно?

[DLL]

Хорошо, мои мысли по поводу функции двух переменных $(x,y)$. Мы можем посчитать результант по одной из них (скажем по $x$).
А потом если они имеют совместную компоненту, то производная по другой переменной - $y$ - должна быть равна нулю тождественно.
Отсюда, получаем условие на параметры. Другой вопрос: как теперь найти эту самую совместную компоненту?