Гладкие $k$-мерные поверхности и касательное пространство

[Mad_Max]

Здравствуйте!

Читаю книжку Зорича про $k$-мерные гладкие поверхности в $\mathbb{R}^n$ и про касательное пространство, но есть пару моментов которые не могу понять хорошо.

В книжке Зорича (страница 483, издание десятое, исправленное) он делает следующее замечание:
Он выводит следующую формулу:

$$F'_x(x_0)(x-x_0)=0.\quad \quad \quad (17)$$

Эта формула дает уравнение касательной плоскости к $k$-мерной поверхности $S$, заданной в $\mathbb{R}^n$ как $S=\{x\in \mathbb{R}^n: F(x)=0\}$, где $F=(F^1,\dots,F^{n-k})$ и $F^1,\dots,F^{n-k}$-гладкие функции ранга $n-k$.

Я правильно понимаю, что $TS_{x_0}=\big\{x\in \mathbb{R}^n: F'_x(x_0)(x-x_0)=0\big\}?$ Т.е. касательное плоскость $TS_{x_0}$ есть множество решений неоднородной системы.

Затем он пишет следующее:

Цитата:

Аффинное уравнение (17) эквивалентно (если указана точка $x_0$) векторному уравнению

$$F'_x(x_0)\cdot \xi=0, \eqno \eqno (19)$$

в котором $\xi=x-x_0$.
Значит, вектор $\xi$ лежит в плоскости $TS_{x_0}$, касательной в точке $x_0\in S$ к поверхности $S\subset \mathbb{R}^n$, заданной уравнением $F(x)=0$, в том и только в том случае, когда он удовлетворяет условию (19). Таким образом, $TS_{x_0}$ можно рассматривать как векторное пространство векторов $\xi$, удовлетворяющих уравнению (19).

Последний абзац вообще непонятен. Я правильно понимаю, что он утверждает, что $\xi\in TS_{x_0} \Leftrightarrow F'_{x}(x_0)\cdot \xi=0$?
Если так, то это же вообще бессмысленно так как если я правильно понял (я спрашиваю этот вопрос у Вас наверху, посмотрите пожалуйста), то автор определяет $TS_{x_0}=\big\{x\in \mathbb{R}^n: F'_x(x_0)(x-x_0)=0\big\}$.

Я буду крайне благодарен если кто-нибудь внятно мне объяснит!
Спасибо Вам!

[Slav-27]

Mad_Max в сообщении #1596412 писал(а):

Я правильно понимаю, что $TS_{x_0}=\big\{x\in \mathbb{R}^n: F'_x(x_0)(x-x_0)=0\big\}?$

С точки зрения Зорича $TS_{x_0}=\big\{\xi\in \mathbb{R}^n: F'_x(x_0)\xi=0\big\}$, а то, что вы пишете, -- это $x_0+TS_{x_0}$.

Касательное пространство состоит из касательных векторов, если вы скажете "$(1,1)$ -- это касательный вектор к поверхности $S\subset\mathbb R^2$, заданной уравнением $y=1$", то вас точно не поймут.

[Mad_Max]

Slav-27
Зорич как раз определяется касательное пространство $TS_{x_0}$ двумя способами и причем они разные. Один из них это множество решений неоднородной системы, а второй способ - множество решений однородной системы.

А Ваш пример с вектором $(1,1)$ вообще не понял.