Кстати, я обманул, и никто не заметил. Я сам только увидел. Непрерывность

не дана в условии, а я ей пользуюсь.
Добавлено спустя 1 час 10 минут 39 секунд:
Я не очень силен в теории множеств, но вот некоторые наброски идеи, как это можно вылечить.
Определим отношение

на

следующим образом:
1) если

, то

;
2) если есть сходящаяся возрастающая последовательность

, то

.
Утверждения, с которыми у меня проблемы: а) порядковый идеал

--- вполне упорядоченное множество; б) если

, то

, более того,

.
Видимо, б) можно доказать из а) с помощью некой трансфинитной индукции, используя непрерывность

и непрерывность метрики. Далее все просто:
любое вполне упорядоченное подмножество

имеет верхнюю грань, т.к. мы можем взять возрастающую последовательность

т.ч.

. Тогда из б) в точности как в моем не до конца правильном рассуждении выше

. Отсюда

--- верхняя грань для

.
Значит, в

есть максимальный элемент, это и будет неподвижная точка.