Восстановить исходную производящую функцию

[kthxbye]

Имеется последовательность A176950. Называется она так:

G.f.: A(x) = 1 + x/Series_Reversion(eta(x) - 1).

Здесь $g.f.$ - это производящая функция (англ. generating function), а $\operatorname{eta}(x)$ это производящая функция, такая, что

$$\operatorname{eta}(x) = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} - \cdots$$

Она связана с partition function $p(n)$ (A000041):

$$p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-p(n-22)-p(n-26)+\cdots$$

Что такое Series_Reversion мне неведомо.

Я разработал алгоритм, который позволяет вместо $p(n)$ брать любую последовательность и находить для нее $A(x)$. Чтобы получить рекуррентное соотношение аналогичное приведенному выше надо из $A(x)$ восстановить $\operatorname{eta}(x)$.

Т.е. вопрос следующий. Пусть

$$f(x)=1+\frac{x}{\operatorname{SeriesReversion}(g(x)-1)}$$

Коэффициенты при $x$ из разложения $f(x)$ в бесконечный ряд известны. Как восстановить коэффициенты при $g(x)$?

Желательно иметь программку на PARI, но простое описание решения в виде алгоритма (который будет нетрудно воспроизвести) тоже приветствуется.

[kthxbye]

Написал автору последовательности. Тот относительно быстро ответил, что

$$g(x)=1+\operatorname{SeriesReversion}(\frac{x}{f(x)-1})$$

Все дело в том, что этот самый сериес ревержн, будучи применен к ряду дважды, возвращает исходный ряд.

Т.е. мы ищем

$$f(x)=1+\frac{x}{h(x)}$$

Откуда

$$h(x)=\frac{x}{f(x)-1}$$

Чтобы получить из $h(x)$ функцию $g(x)-1$, применяем сериес ревержн, а потом просто переносим единицу. Вот и все решение.