Левоинвариантное векторное поле

[Kuga]

В книге Дубровина, Новикова и Фоменко, вводится линейное векторное поле $T_X$ (параграф 24.3), соответствующее матрице $X$, по формуле $T_X=-Xx$, где $x\in \mathbb{R}^n$ - координаты. Далее вычисляется коммутатор $[T_X,T_Y]=T_{[X,Y]}$.

Далее в следующем параграфе вводится левоинвариантное векторное поле $L_X$. В точке $A$ группы Ли $L_X$ принимает значение $L_{X}(A)=AX$. Левоинвариантность $L_X$ означает

$$ BL_X(A)=L_X{BA}. $$

Как $L_X$ связано с $T_X$ непонятно. Далее без всяких объяснений пишут что $[L_X,L_Y]=L_{[X,Y]}$ следует из аналогичной формулы для $T_X$. Этот момент тоже непонятен.

Формула $[L_X,L_Y]=L_{[X,Y]}$ означает, что коммутатор двух левоинвариантных полей так же является левоинвариантным полем. Насколько я понимаю, ее можно вывести из следующей общей формулы для диффеоморфизма $F$: $F_\star[X,Y]=[F_\star X,F_\star Y]$.

Но приведенный вывод в книге, использующий некую связь между левоинвариантными полями $L_X$ и линейными полями $T_X=-Xx$, где $x\in R^n$, вообще непонятен.

Вопрос: Если $G$ группа Ли на которой определено левоинвариантное поле $L_X$, то что такое координаты $x$, которые используются в формуле $T_X=-Xx$ ? Как связаны $L_X$ и $T_X$ и как из формулы $[T_X,T_Y]=T_{[X,Y]}$ следует $[L_X,L_Y]=L_{[X,Y]}$ ?

Может есть книга, где все это написано понятно?

[Slav-27]

Я вам уже недавно писал: фундаментальные векторные поля для любого действия группы Ли на гладком многообразии коммутируют так же, как и соответствующие элементы алгебры Ли, поэтому достаточно вычислить для какого-нибудь одного свободного действия и дальше всё понятно.

В данном случае это совсем очевидно, потому что действие $X$ на $\mathbb R^{n\times n}$ правым умножением преобразует каждую строку по отдельности. То есть достаточно заменить в предыдущем доказательстве левое действие правым (при этом исчезнет минус) и полученное написать $n$ раз (т. е. добавить дополнительный индекс к $x$).