Интеграл движения в поле квадруполя

[reterty]

Прошу проверить мое решение следующей небезынтересной задачи: определить второй интеграл движения тела массой $m$, находящегося в поле массивного асферического и центрально-симметричного (дипольный момент равен нулю) обьекта массой $M$.

Поправка к потенциальной энергии тела за счет квадрупольного взаимодействия в сферической системе координат имеет следующий вид:

$$ U(r, \theta)=G M Q \dfrac{3 \cos^2 \theta-1}{4r^3}, \quad (1)$$

где $Q$ - величина квадрупольного момента тела массой $M$. Пользуясь соотношением $\pmb{F}=-\nabla U$, для вектора силы получаем:

$$ \pmb{F}=\dfrac{3G M Q}{4 r^4} \left[ (3 \cos^2 \theta-1)\hat{\mathbf e}_r+\sin 2 \theta \; \hat{\mathbf e}_\theta\right]. \quad (2)$$

Теперь найдем момент этой силы, действующей на тело:

$$ \pmb{M}= \pmb{r} \times \pmb{F}=r (\hat{\mathbf e}_r \times \pmb{F} )=\dfrac{3G M Q}{4 r^3} \sin 2 \theta \; \hat{\mathbf e}_\varphi. \quad (3)$$

Уравнение моментов имеет вид:

$$ \dfrac{{\rm d}\pmb{L}}{{\rm d}t}=\pmb{M}, \quad (4)$$

где $\pmb{L}= \pmb{r} \times m\pmb{v}$ - момент импульса тела. Умножим обе части уравнения (4) скалярно на $\pmb{L}$. Легко показать что

$$ \pmb{L} \cdot \dfrac{{\rm d}\pmb{L}}{{\rm d}t}=\dfrac{1}{2}\dfrac{{\rm d}L^2}{{\rm d}t}, \quad (5)$$

где $L^2= \pmb{L}\cdot \pmb{L}$ - квадрат модуля момента импульса тела. С другой стороны

$$\pmb{L}\cdot \pmb{M}=\dfrac{3G mM Q \sin 2 \theta}{4 r^2}(\hat{\mathbf e}_\varphi\cdot(\hat{\mathbf e}_r \times \pmb{v}))=\dfrac{3G mM Q \sin 2 \theta}{4 r^2}(\pmb{v} \cdot \hat{\mathbf e}_\theta)\quad (6)$$

(здесь мы воспользовались свойством смешанного произведения векторов). Поскольку

$$\pmb{v}=v \; \hat{\mathbf e}_r+r \dfrac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t} \hat{\mathbf e}_\theta+r \sin \theta \dfrac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}t} \hat{\mathbf e}_\varphi ,$$

то

$$\pmb{L}\cdot \pmb{M}=\dfrac{3G mM Q \sin 2 \theta}{4 r} \dfrac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}. \quad (7)$$

Принимая во внимание выражения (4), (5), (7), окончательно получаем:

$$ L^2 +\dfrac{3G mM Q }{4 }\dfrac{\cos 2 \theta }{r}= \operatorname{const} \quad (8)$$

[Red_Herring]

(7) равносильно (8) только при постоянном $r$

[reterty]

Red_Herring в сообщении #1595153 писал(а):

(7) равносильно (8) только при постоянном $r$

Вы правы. Значит, должна сохраняться такая абракадабрина:

$$\dfrac{r}{\sin 2\theta}\dfrac{{\rm d}L^2}{{\rm d}\theta}=\dfrac{3Gm^2Q}{2}=\operatorname{const} $$

...хорошего мало...

[reterty]

для всех реальных гравитирующих объектов момент $Q$ крайне мал. Как бы здесь можно было бы учесть это обстоятельство и поработать в рамках теории возмущений?

[Red_Herring]

reterty в сообщении #1595203 писал(а):

для всех реальных гравитирующих объектов момент $Q$ крайне мал. Как бы здесь можно было бы учесть это обстоятельство и поработать в рамках теории возмущений?

Ну так запишите невозмущенное решение и затем напишите линейную систему для возмущения

[svv]

reterty в сообщении #1595122 писал(а):

определить второй интеграл движения

Точнее, третий. После двух очевидных — энергия $\frac{mv^2}{2}+U$ и $z$-компонента момента импульса
$L_z=mr^2\sin^2\!\theta\,\dfrac{d\varphi}{dt}$

[reterty]

Решил продолжить вычисления. Корректно записанное последнее выражение имеет вид:

$$\dfrac{r}{\sin 2\theta}\dfrac{{\rm d}L^2}{{\rm d}\theta}=-\dfrac{3Gm^2Q}{2}=\operatorname{const}. \quad (1)$$

Найдем сейчас $L^2$. Поскольку

$$ \pmb{L}=mr^2 \left(-\dfrac{{\rm d}\varphi }{{\rm d}t}\sin \theta\hat{\mathbf e}_\theta+ \dfrac{{\rm d}\theta }{{\rm d}t}\hat{\mathbf e}_\varphi\right) , \quad (2)$$

то

$$ L^2=m^2r^4 \left( \left(\dfrac{{\rm d}\varphi }{{\rm d}t}\right)^2\sin^2 \theta+ \left(\dfrac{{\rm d}\theta }{{\rm d}t}\right)^2\right) , \quad (3)$$

и

$$\dfrac{{\rm d}L^2}{{\rm d}\theta}=m^2r^4 \left(\dfrac{{\rm d}\varphi }{{\rm d}t}\right)^2\sin 2 \theta. \quad (4)$$

Тогда

$$r^5 \left(\dfrac{{\rm d}\varphi }{{\rm d}t}\right)^2=-\dfrac{3GQ}{2}=\operatorname{const}. \quad (5)$$

или, с учетом постоянства $L_z=mr^2\sin^2\!\theta\,\dfrac{d\varphi}{dt}$

$$\dfrac{r}{\sin^4\theta}=-\dfrac{3Gm^2Q}{2 L^2_z}=\operatorname{const}. \quad (6)$$

Прошу проверить выкладки.

[svv]

Поясните, пожалуйста, как получается формула (1) в последнем сообщении.
Кроме того, мне непонятен смысл выражения $\frac{dL^2}{d\theta}$. Я вижу, что в (4) Вы находите частную производную $\frac{\partial L^2}{\partial \theta}$, рассматривая $L^2$ как функцию переменных $r,\theta,\dot\theta,\dot\varphi$:
$L^2=m^2 r^4 \left(\dot\varphi^2\sin^2 \theta+ \dot\theta^2\right) \quad (3)$
Но почему Вы так делаете, я не понимаю, хотя само действие может иметь смысл.

[reterty]

svv в сообщении #1595556 писал(а):

Поясните, пожалуйста, как получается формула (1) в последнем сообщении.
Точнее, мне непонятен смысл выражения $\frac{dL^2}{d\theta}$. Я вижу, что в (4) Вы находите частную производную $\frac{\partial L^2}{\partial \theta}$, рассматривая $L^2$ как функцию независимых переменных $r,\theta,\dot\theta,\dot\varphi$:
$L^2=m^2 r^4 \left(\dot\varphi^2\sin^2 \theta+ \dot\theta^2\right) \quad (3)$
Но почему Вы так делаете, я не понимаю, хотя само действие может иметь смысл.

Формула (1) получена из формул (5) и (7) в стартовом сообщении топика с учетом корректировки знака в исходном выражении для энергии квадруполя и замечания сделанного выше уважаемым Red_Herring при этом я считаю что все пространственные координаты явно друг от друга не зависят а зависят от времени. скорее всего, здесь есть неверный посыл...

[svv]

А, теперь понятно. Ну да, так нельзя, к сожалению.
Из (5) и (7) стартового сообщения (с учётом корректировок потенциала) следует
$\dfrac{dL^2}{dt}=-\dfrac{3Gm^2Q\sin 2\theta}{2r}\dfrac{d\theta}{dt}$
Слева стоит полная производная $L^2$ от времени, причём $L^2=m^2 r^4 \left(\dot\varphi^2\sin^2 \theta+ \dot\theta^2\right)$ не зависит от времени явно, но зависит от $r,\theta,\dot\theta,\dot\varphi$, которые зависят от времени. Применяем формулу для производной сложной функции многих переменных:
$\dfrac{dL^2}{dt}=\dfrac{\partial L^2}{\partial r}\dfrac{dr}{dt}+{\color{magenta}\dfrac{\partial L^2}{\partial\theta}\dfrac{d\theta}{dt}}+\dfrac{\partial L^2}{\partial\dot r}\dfrac{d\dot r}{dt}+\dfrac{\partial L^2}{\partial\dot\theta}\dfrac{d\dot\theta}{dt}$
Чтобы получить (1), нужно из правой части выбросить все слагаемые, кроме выделенного. Оснований для такого действия нет, но я продолжу.
$-\dfrac{3Gm^2Q\sin 2\theta}{2r}\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{\partial L^2}{\partial\theta}\dfrac{d\theta}{dt}$
Сокращая, получим
$-\dfrac{3Gm^2Q\sin 2\theta}{2r}=\dfrac{\partial L^2}{\partial\theta}=m^2 r^4 \sin 2 \theta\left(\dfrac{d\varphi}{dt}\right)^2$
$-\dfrac{3G Q}{2}=r^5 \left(\dfrac{d\varphi}{dt}\right)^2=\operatorname{const}\qquad(5)$
Если бы это было правильно, это был бы очень сильный результат...

[reterty]

svv в сообщении #1595565 писал(а):

А, теперь понятно. Ну да, так нельзя, к сожалению.
Из (5) и (7) стартового сообщения (с учётом корректировок потенциала) следует
$\dfrac{dL^2}{dt}=-\dfrac{3Gm^2Q\sin 2\theta}{2r}\dfrac{d\theta}{dt}$
Слева стоит полная производная $L^2$ от времени, причём $L^2=m^2 r^4 \left(\dot\varphi^2\sin^2 \theta+ \dot\theta^2\right)$ не зависит от времени явно, но зависит от $r,\theta,\dot\theta,\dot\varphi$, которые зависят от времени. Применяем формулу для производной сложной функции многих переменных:
$\dfrac{dL^2}{dt}=\dfrac{\partial L^2}{\partial r}\dfrac{dr}{dt}+{\color{magenta}\dfrac{\partial L^2}{\partial\theta}\dfrac{d\theta}{dt}}+\dfrac{\partial L^2}{\partial\dot r}\dfrac{d\dot r}{dt}+\dfrac{\partial L^2}{\partial\dot\theta}\dfrac{d\dot\theta}{dt}$
Чтобы получить (1), нужно из правой части выбросить все слагаемые, кроме выделенного. Оснований для такого действия нет, но я продолжу.
$-\dfrac{3Gm^2Q\sin 2\theta}{2r}\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{\partial L^2}{\partial\theta}\dfrac{d\theta}{dt}$
Сокращая, получим
$-\dfrac{3Gm^2Q\sin 2\theta}{2r}=\dfrac{\partial L^2}{\partial\theta}=m^2 r^4 \sin 2 \theta\left(\dfrac{d\varphi}{dt}\right)^2$
$-\dfrac{3G Q}{2}=r^5 \left(\dfrac{d\varphi}{dt}\right)^2=\operatorname{const}\qquad(5)$
Если бы это было правильно, это был бы очень сильный результат...

Shame on me.... спасибо Вам за розьяснение!