Помогите разобрать интегралы :)

[Lolmen]

Как вычисляется?

1.
$$\int_{1}^{4} \frac{(x+1)dx}{\sqrt(x)}$
2.
$${\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}}} {e^\cos(2x)} \sin(2x)dx$

Можно подробно расписать?
А то простые вроде как решаю, а примера решения более менее сложных в учебнике нету...

[Сомик]

Lolmen в сообщении #159424 писал(а):

Можно подробно расписать?

Мы можем лишь подсказать, а решать вам
Итак первый интеграл. Разумно сделать преобразование $\frac{x+1}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$. Разбить исходный интеграл на сумму двух интегралов, и каждый интеграл найти отдельно.

Хочу отметить, что Lolmen правильно воспользовался тегом math. Не многие кто в первый раз задают вопросы им пользуются. Молодец!

[mkot]

(2) Внести $\sin 2x$ под дифференциал.

[Lolmen]

Т.е получается:
1.

$$\int_{1}^{4} \frac{(x+1)dx}{\sqrt{x}} = \int_{1}^{4}{\sqrt{x}}{dx} + \int_{1}^{4}{\frac{1}{\sqrt{x}}{dx}} = \int_{1}^{4}{{x^{\frac{1}{2}}dx + \int_{1}^{4}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}dx = \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} {\left{[} \limits_{1}^{4}} + \frac{3}{2x^{\frac{3}{2}}} {\left{[} \limits_{1}^{4}}= \frac{2}{3}\sqrt{4^3} - \frac{2}{3} + \frac{3}{2}\sqrt{4^3} - \frac{3}{2} = \sqrt{4^3}+\sqrt{4^3} = 16$$

Так?

2.
Что значит внести под дифференциал?

[mkot]

(1) Нет не так.

$$\int \frac {\mathrm{d}x}{x^\frac12} = 2 x^{\frac12} + C$$

.

[ewert]

2.
Представить $f(x)\,dx$ как $dg(x)$. Т.е. угадать такую функцию $g(x)$, что $g'(x)=f(x)$ (ну или не угадывать, а проинтегрировать $f(x)$).

[Сомик]

Lolmen в сообщении #159444 писал(а):

Что значит внести под дифференциал?

Фактически, это означает сделать замену переменной. надо перейти к новой переменной $y=cos(2x)$, тогда $sin(2x)dx = -\frac{1}{2}d(cos(2x))=-\frac{1}{2}dy$. Т.к. $cos(2x)' = - 2 sin(2x)$ И этом случае интеграл принимает вид $-\frac{1}{2} \int{ e^y dy }$. Только надо правильно изменить пределы интегрирования!

[Lolmen]

Хм:
1.

$$\int_{1}^{4} \frac{(x+1)dx}{\sqrt{x}} = \int_{1}^{4}{\sqrt{x}}{dx} + \int_{1}^{4}{\frac{dx}{\sqrt{x}}} = \int_{1}^{4}{{x^{\frac{1}{2}}dx + \int_{1}^{4}{\frac{dx}{x^{\frac{1}{2}}} = \int_{1}^{4}{x^{\frac12}} + {x^{-\frac12}}dx = {\left. \frac{1}{\frac12+1}x^{\frac12 + 1} + \frac{1}{-\frac12 + 1}x^{-\frac12 + 1} \right|_1^4} = {\left.{{\frac23}x^{\frac32}} + 2x^{\frac12}\right|_1^4} = {\frac23} 4^{\frac32} + 2 * 4^{\frac12} - {\frac23} * 1^{\frac32} + 2 * 1^{\frac12} = \frac23 * 8 + 2 * 2 - \frac23 - 2 = \frac{16}{3} + 4 - \frac23 - 2 = \frac{14}{3} + 2 = \frac{20}{3}$$

2.
$${\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}}} {e^\cos(2x)} \sin(2x)dx = -\frac12{\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}}} {e^\cos(2x)} d(\cos{2x})$$ $t = \cos{2x}

$$-\frac12{\int_{1}^{0}}{e^{t}dt} = \frac12{\int_{0}^{1}}{e^{t}dt} = {\left. \frac12e^t \right|_0^1} = \frac12(e^1 - e^0) = {\frac12}(e-1) $$

Так?

[mkot]

(1) Проинтегрировано верно. Числовые расчёты неверны. (И не надо писать в данном случае константу $C$, так как значение интеграла не зависит от $C$, поэтому выберите первообразную, где $C = 0$).
(2) Ошибка в последнем равенстве.

Вертикальную черту лучше писать так:

$$\int\limits_{1}^{4} \frac{(x+1)\mathrm{d}x}{\sqrt{x}} = \ldots = \left.\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\right|_1^4 + \left.{2x^{\frac{1}{2}}\right|_1^4.$$

То есть слева от выражения поставить

\left.

(Точка обязательна.) Справа:

\right|_1^4

[Lolmen]

Поправил, оно?

[mkot]

Lolmen писал(а):

Поправил, оно?

Ну если восстановить пропущенные скобки (четыре пары):

$$\int_{1}^{4} \frac{(x+1)dx}{\sqrt{x}} = \int_{1}^{4}{\sqrt{x}}{dx} + \int_{1}^{4}{\frac{dx}{\sqrt{x}}} = \int_{1}^{4}{{x^{\frac{1}{2}}dx + \int_{1}^{4}{\frac{dx}{x^{\frac{1}{2}}} = $$ $$ = \int_{1}^{4}\left({x^{\frac12}} + {x^{-\frac12}}\right)dx = {\left(\left. \frac{1}{\frac12+1}x^{\frac12 + 1} + \frac{1}{-\frac12 + 1}x^{-\frac12 + 1}\right) \right|_1^4} = {\left(\left.{{\frac23}x^{\frac32}} + 2x^{\frac12}\right)\right|_1^4} = $$ $$ = \left({\frac23} 4^{\frac32} + 2 \cdot 4^{\frac12}\right) -\left( {\frac23} \cdot 1^{\frac32} + 2 \cdot1^{\frac12}\right) = \frac23 \cdot 8 + 2 \cdot 2 - \frac23 - 2 = \frac{16}{3} + 4 - \frac23 - 2 = \frac{14}{3} + 2 = \frac{20}{3}$$

тогда правильно. Восстановленные мной скобки обязательны (кроме предпоследней пары), так как символ $|^b_a$ относится
только к последнему слагаемому; если сумма стоит под знаком интеграла, то
скобки тоже обязательны. И последняя пара скобок нужна, иначе ошибка со знаком.


И два замечания:
(1) Разбивайте длинные формулы на части, а то в окно не помещаются,
(2) для умножения используйте \cdot, а не *.

[Lolmen]

Спасибо!
Просто не сразу разобрался в LaTeX.