Софт для вещественного жорданового разложения

[worm2]

Здравствуйте!

Возникла задача, посчитать вещественное жорданово разложение от нескольких матриц (мне бы хватило только случая 2x2).
В Mathematica есть JordanDecompisition, но она даёт нормальную, комплексную форму.
Все матрицы вещественные, с.з. у них всех разные (комплексно сопряжённые), соответственно, вещественная жорданова клетка тривиально записывается из комплексной. Но вот с матрицей преобразования $S$ ($A=S\cdot J \cdot S^{-1}$) неудобно получается, хочется её тоже в вещественном виде сразу получить, а как — что-то не соображу, учебника под рукой нет, в Интернете тоже не нагуглил.
Может быть, есть какая-то функция в Mathematica сразу для вещественного жорданового разложения? Или другой софт, у меня PARI/GP установлен, но подойдёт и онлайн-калькулятор (тоже не нашёл).

[Padawan]

А что такое вещественная жорданова форма?

[worm2]

Padawan в сообщении #1594268 писал(а):

А что такое вещественная жорданова форма?

Если матрица вещественная, то корни её характеристического многочлена, которые не являются действительными числами, комплексно сопряжены. Их можно сгруппировать парами, и тогда в простейшем случае, когда нет кратных корней и жорданова матрица диагональна:

$$\left(\begin{matrix} a-bi & 0 \\ 0 & a+bi \end{matrix}\right)$$

то её вещественная форма будет такой:

$$\left(\begin{matrix} a & -b \\ b & a \end{matrix}\right)$$

Например, для матрицы поворота

$$A=\left(\begin{matrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{matrix}\right)$$

жорданово разложение будет таким:

$$ A=S\cdot J\cdot S^{-1}= \left(\begin{matrix} -i & i \\ 1 & 1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \cos\varphi-i\sin\varphi & 0 \\ 0 & \cos\varphi+i\sin\varphi \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0.5i & 0.5 \\ -0.5i & 0.5 \end{matrix}\right)\eqno{(1)} $$

(такой результат выдаёт функция JordanDecompisition в Mathematica).
В то время как $A$ уже находится в вещественной жордановой форме, её вещественное разложение тривиально:

$$A=E\cdot J_{\mathrm{real}}\cdot E\qquad (J_{\mathrm{real}} = A)\eqno{(2)}$$

Не могу понять, как получить (2) из (1). Ну то есть с самой жордановой матрицей всё понятно, но вот с матрицей перехода (как получить в данном случае $E$ из $S$) у меня затык, наверняка это очень просто, но мы что, сами об этом должны думать в XXI веке, когда у нас кругом математические пакеты?

-- Чт май 18, 2023 11:52:47 --

Кстати, сейчас пока экспериментировал с Mathematica, наткнулся на роскошную вещь:
{{cos(pi/8), -sin(pi/8)}, {sin(pi/8), cos(pi/8)}}^16
Результат я не осмелился сюда скопировать, посмотрите сами:
https://www.wolframalpha.com/input?i=%7B%7Bcos%28pi%2F8%29%2C+-sin%28pi%2F8%29%7D%2C+%7Bsin%28pi%2F8%29%2C+cos%28pi%2F8%29%7D%7D%5E16
Если указать Simplify, то она справляется (получается единичная матрица, как и должно быть), но однако ж!

Я думаю, это как-то связано с темой. Mathematica приводит матрицу в (комплексную) жорданову форму, выполняет вычисления в ней и не осиливает упростить преобразования, пока её не пнёшь. А если бы в вещественной форме работала, вероятность успеха, имхо, была бы выше.

[worm2]

Нашёлся всё-таки ответ:
https://math.stackexchange.com/questions/207397/real-jordan-form-to-complex-jordan-form-then-compute-p-matrix
Собственные вектора вещественной матрицы, соответствующие сопряжённым собственным значениям, также сопряжены, т.е. представляются в виде $u\mp iv$, эти столбцы заменяем на $v$ и $u$, таким образом из комплексной матрицы преобразования строится вещественная. Ну а обратную к ней, видимо, придётся отдельно посчитать, это уже не страшно.
Теперь вижу, что то же самое и в английской Википедии написано, но я сразу не понял.