Гипотезы об "антипериодических" числах

[Nik_Nikols]

Предлагаю опровергнуть или доказать две любопытные гипотезы.

1. Определения.
Пусть $L$ - конечное множество, которое мы в дальнейшем будем называть алфавитом. Если $A$ - конечная, а $B$ - любая последовательность элементов алфавита $L$, символом $AB$ обозначается результат их конкатенации ("составления"). Для любой конечной последовательности $A$ символом $A^{(n)}$ обозначается результат ее n-кратной конкатенации ($A^{(n)} = AA...A$, n раз).
Последовательность $S$ в алфавите $L$ назовем "не более, чем n-повторной", если для любой конечной последовательности $A$, любой непустой конечной последовательности $B$ и любой последовательности $C$ выполнено $S = AB^{(k)}C \Rightarrow k \leq n$. Множество всех не более, чем n-повторных последовательностей в алфавите $L$ обозначим $RB(n, L)$. Известно, что, если $L$ содержит по крайней мере три символа, то множество $RB(1, L)$ ("бесквадратных" последовательностей) несчетно.

Действительное число будем называть "не более, чем n-повторным в k-ичной системе счисления", если его запись в k-ичной системе счисления с проигнорированной запятой есть не более, чем n-повторная последовательность в алфавите $\{0, 1, ..., (k-1)\}$. Рациональные числа, имеющие конечную k-ичную запись разумно к этому множеству не относить (считая, что они оканчиваются бесконечной последовательностью нулей). Множество не более, чем n-повторных в k-ичной системе счисления действительных чисел обозначим $RRB(n, k)$, а объединение всех таких множеств при фиксированном $k$ обозначим $RRB(k)$. Элементы последнего множества будем называть "антипериодическими числами в k-ичной системе счисления". Элементы дополнения этого множества будем называть "бесконечно-повторными числами в k-ичной системе счисления". Очевидно, рациональные числа бесконечно-повторны в любой системе счисления.

Неформально, антипериодическое в k-ичной системе число х - это число, в k-ичной записи которого нет (n+1)-кратных повторов никакого фрагмента для некоторого фиксированного (зависящего только от x) натурального n.

2. Гипотезы.
А. Множества $RRB(k)$ не зависят от $k$, т.е. для всех целых больших единицы $k$ и $t$ множества $RRB(k)$ и $RRB(t)$ совпадают. Соответственно, можно говорить просто об "антипериодических" и "бесконечно-повторных" числах.

Б. Все бесконечно повторные числа трансцендентны или рациональны. Соотвественно, все иррациональные алгебраические числа антипериодические.

3. Информация к размышлению. Все Лиувиллевы числа бесконечно-повторны.

4. Явный пример антипериодического числа.
$\prod_{i=0}^\infty (1-2^{-2^i}) \in RRB(2,2)$

[Инт]

Интересно. Подумаем.

[ИСН]

Скорее всего, это что-то типа проблемы "нормальных" чисел - в смысле, что формулировка (если не гоняться за ultimate строгостью) понятна продвинутому школьнику, а всё, что по этому поводу известно науке... тоже понятно тому же школьнику.
Разница же в том, что "нормальных" чисел "много" (почти все), а этих антипериодических, соответственно, "мало".