Бесконечные СЛАУ

[Hulk541]

Здравствуйте. Пишу курсовую работу по теме "Методы решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений".
Обозначу как данная система выгладит

a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n}+\dots=b_1\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n}+\dots=b_2\\\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\dots+a_{nn}x_{n}+\dots=b_n\\\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots

или более коротко (1)

$\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_{ij}x_{j}=b_{i} (i=1, 2, \dots)$

Во всех книгах, так или иначе затрагивающих мою тему, перед приведением методов решения систему (1) приводят к виду

$x_{j}=\sum\limits_{i=1}^{\infty} c_{ji}x_{i}+b_{j} (j=1, 2, \dots)$

Маломальское объяснение, как осуществляется этот переход, я нашёл лишь в книге "Приближённые методы высшего анализа" авторов Л. В. Канторович, В.И. Крылов

но оно не особо помогло мне понять понять как осуществляется переход.

Есть у кого идеи по этому поводу ?

-- 14.05.2023, 20:40 --

Подумал, может авторы книг, где я черпаю информации по теме своей курсовой проделывают следующее:
Все диагональные коэффициенты $a_{ij}$ представляют в виде суммы $1+c_{ij}$ и далее, как и пишет Крылов, слагаемое $x_{i}$, получавшееся после раскрытия скобок, переносят влево, НО проделам эти действия на бумаге, понял, что это не той, что нужно.

[пианист]

Так а что объяснять-то?
$c_{ji} = \delta_{ji} - a_{ji}$

[Mikhail_K]

Hulk541 в сообщении #1593912 писал(а):

Подумал, может авторы книг, где я черпаю информации по теме своей курсовой проделывают следующее:
Все диагональные коэффициенты $a_{ij}$ представляют в виде суммы $1+c_{ij}$ и далее, как и пишет Крылов, слагаемое $x_{i}$, получавшееся после раскрытия скобок, переносят влево

Именно это и делается. Ну ещё свободные члены $b_i$ в другую сторону переносятся. Наконец, в записях

Hulk541 в сообщении #1593912 писал(а):

$\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_{ij}x_{j}=b_{i} (i=1, 2, \dots)$
$x_{j}=\sum\limits_{i=1}^{\infty} c_{ji}x_{i}+b_{j} (j=1, 2, \dots)$

разные обозначения: то, что обозначено через $i$ в одной из них, обозначено через $j$ в другой, и наоборот.

[пианист]

Я все-таки добавлю: представляют систему именно в таком виде:
$x = F(x),\quad(1) $
ради возможности использования теорем о неподвижной точке, например, принципа сжимающих отображений (теорема Банаха-Каччополи).
Там смысл такой: если последовательность $x_0, F(x_0), F(F(x_0)), ...$ сходится, то предел ее, как легко видеть, это решение (1); соответственно, так его можно найти с заданной точностью. Ну а принцип сжимающих отображений дает возможность определить, когда это (сходимость) имеет место.