Связность на группах Ли в книге ДНФ

[Kuga]

В книге Дубровина, Новикова и Фоменко дается определение связности на группах Ли:

$$ \nabla _{L_X}L_Y=\frac{1}{2}L_{[X,Y]}=\frac{1}{2}\left[ L_{X},L_{Y}\right] \,\,\,\,\,\,\,\, (1) $$

где $X,Y\in\mathfrak{g}$ - элементы алгебры Ли, $L_X,L_Y$ - соответствующие левоинвариантные векторные поля.

Почему это связность там не обосновывают, только написано "Введем связность на группе $G$ полагая..."

Насколько я понимаю, с формальной точки зрения, связность это операция которая двум векторным полям $A,B$ ставит в соответствие третье векторное поле $\nabla_{A}B$, и которое удовлетворяет двум условиям
1) $\nabla_{fA}B=f\nabla_{A}B$
2) $\nabla_{A}fB=A(f)B+f\nabla_{A}B$
для любого скалярного поля $f$.

Векторное поле $L_X$ действует на матрицах по правилу (формула 24.55)

$$ L_X(Z)=ZX. $$

Откуда вообще тут может получиться член $A(f)$ содержащий производные скаляра $f$?
Вроде бы должно быть так:
1) $\nabla_{fL_X}L_Y=f\nabla_{L_X}L_Y$
2) $\nabla_{L_X}fL_Y=L_X(f)L_Y+f\nabla_{L_X}L_Y$

Вообще что такое $L_X(f)$ на группах Ли? И вообще откуда такой член может получиться, если использовать опеределение связности (1) ?

[Slav-27]

Kuga в сообщении #1593137 писал(а):

Векторное поле $L_X$ действует на матрицах по правилу (формула 24.55)

Это не действие на матрицах, а значение. То есть имеется в виду, что $L_X$ в точке $Z\in GL(n)\subset\mathbb R^{n\times n}$ действует на функции как $\sum\limits_{ij}(ZX)^i_j\dfrac{\partial}{\partial x^i_j}$.

Kuga в сообщении #1593137 писал(а):

Вообще что такое $L_X(f)$ на группах Ли?

Как обычно, производная $f$ вдоль векторного поля $L_X$. Например, для матричных групп я только что написал.

Kuga в сообщении #1593137 писал(а):

И вообще откуда такой член может получиться, если использовать опеределение связности (1) ?

Определение (1) написано только левоинвариантных полей, оно распространяется на произвольные поля по формуле Лейбница, то есть именно так, как вы написали:

Kuga в сообщении #1593137 писал(а):

1) $\nabla_{fL_X}L_Y=f\nabla_{L_X}L_Y$
2) $\nabla_{L_X}fL_Y=L_X(f)L_Y+f\nabla_{L_X}L_Y$

[Kuga]

Стало понятнее теперь.

т.е. соотношения 1) и 2) не выводятся из определения $\nabla _{L_X}L_Y=\frac{1}{2}L_{[X,Y]}=\frac{1}{2}\left[ L_{X},L_{Y}\right]$, они постулируются?

[Slav-27]

Да, не выводятся.
Если задан базис векторных полей $E_1,...,E_n$ (в том смысле что их значения в $x$ -- базис касательного пространства в $x$ для любой точки $x$), то любые гладкие функции $\Gamma^i_{jk}$ задают связность по формуле $\nabla_{E_i}E_j=\sum_k\Gamma^k_{ij}E_k$.