Совместная диагонализируемость коммутирующих матриц

[Slav-27]

Когда я говорю "$W$ -- собственное подпространство для оператора $B$", я имею в виду, что все ненулевые векторы из $W$ собственные для $B$ c одним и тем же собственным значением. Это стандартное определение.

[Maxim19]

Ааа, мы же рассматриваем блоки подпространства из собственных векторов с одинаковыми собственными значениями. Забыл совсем, что я писал в самом начале поста

-- 09.05.2023, 02:32 --

Простите

-- 09.05.2023, 02:38 --

В вашем доказательстве мне непонятно, почему вектор из инвариантного подпространства $A$ состоит из собственных векторов для $A$ с разными собственными значениями?

-- 09.05.2023, 02:40 --

Опять, всё понял. Там не одномерные, а просто собственные подпространства рассматриваются. Впервые просто столкнулся с использованием подпространства собственного в таком ключе

-- 09.05.2023, 03:05 --

В общем я разобрался в решении. Думал, почему в математической индукции для 1 всё тривиально. Как по мне, это не так уж и просто. Интересно, что тут не используется скалярное произведение.

[Slav-27]

Maxim19 в сообщении #1593103 писал(а):

Думал, почему в математической индукции для 1 всё тривиально. Как по мне, это не так уж и просто.

При $k=1$ имеем $w\in W$ и $w=v_1$, и надо доказать, что $v_1\in W$. Это совершенно тривиально.

[Maxim19]

Последний вопрос: надо же ещё, чтобы базис подпространства инвариантного выражался через такое же количество собственных векторов $A$. Может так получиться, что это не так. Например если в декартовой системе координат трёхмерной рассмотреть прямую типо диагональную, то она хоть и одномерная, записывается же через сумму трёх векторов. Так и тут, все вектора из подпространства инвариантного могут быть записаны через большее число собственных векторов, что уже не гарантирует диагонализируемость ограничения $A$. Что тогда в этом случае?

-- 09.05.2023, 03:15 --

Slav-27
Так все $v_1$ могут быть и не одномерным пространством. В этом и сложность

[Slav-27]

Maxim19 в сообщении #1593107 писал(а):

Последний вопрос: надо же ещё, чтобы базис подпространства инвариантного выражался через такое же количество собственных векторов $A$.

Мне непонятен вопрос: через какое "такое же" и зачем это надо.

-- 09.05.2023, 04:17 --

Maxim19 в сообщении #1593107 писал(а):

Так все $v_1$ могут быть и не одномерным пространством. В этом и сложность

И это замечание тоже непонятно.

[Maxim19]

Всё, я уже сонный. Вроде всё понятно, но сомнения какие-то. Думаю разобрался. Позже ещё раз просмотрю доказательство

-- 09.05.2023, 03:34 --

Правда мне кажется, что это то же самое, что и предложил svv

[Slav-27]

Maxim19 в сообщении #1593109 писал(а):

Правда мне кажется, что это то же самое, что и предложил svv

Да, конечно.

[Maxim19]

Я наконец-то понял, что меня смущает

-- 09.05.2023, 03:43 --

Пусть базис инвариантного пространства $w_1,w_2$, и пусть $w_1=v_1+v_2$ и $w_2=v_2+v_3$. Такого разве быть не может? По вашему доказательству это будет значить, что все 3 собственных вектора будут в том подпространстве, что противоречит первоначальному предположению.

-- 09.05.2023, 03:49 --

Эх, такого быть не может. $Aw=1v_1+2v_2$ что никак не представить в виде линейной комбинации $w_1$ и $w_2$

[Slav-27]

Maxim19 в сообщении #1593111 писал(а):

Такого разве быть не может?

Не может, и вы даже объяснили, почему не может.

[Maxim19]

Всё, теперь окончательно понял и осознал. В самом решении не стоит беспокоиться о том, что могут быть разные размерности, ведь по построению математика такого просто недопустит. Вообщем я обращал не туда внимание.