К обеим матрицам применяется такое преобразование подобия, чтобы
стала диагональной и равные диагональные элементы шли подряд. Разобьём
на блоки так, чтобы каждый диагональный блок имел вид
и равные диагональные элементы всегда относились к одному блоку. Легко доказывается, что поскольку
и
коммутируют,
будет блочно диагональной матрицей той же блочной структуры. Дальше надо показать, что (*) если матрица
блочно диагональна и диагонализируема, то каждый её диагональный блок диагонализируем в отдельности. Применяем одновременно и к
, и к
такие преобразования подобия, которые последовательно диагонализируют диагональные блоки
. Эти же преобразования оставляют матрицу
диагональной, потому что действуют на её диагональные блоки вида
.
Вы можете доказать (*)? Значит, всё просто. Если нет, в книге расписано, как.