К обеим матрицам применяется такое преобразование подобия, чтобы

стала диагональной и равные диагональные элементы шли подряд. Разобьём

на блоки так, чтобы каждый диагональный блок имел вид

и равные диагональные элементы всегда относились к одному блоку. Легко доказывается, что поскольку

и

коммутируют,

будет блочно диагональной матрицей той же блочной структуры. Дальше надо показать, что (*) если матрица

блочно диагональна и диагонализируема, то каждый её диагональный блок диагонализируем в отдельности. Применяем одновременно и к

, и к

такие преобразования подобия, которые последовательно диагонализируют диагональные блоки

. Эти же преобразования оставляют матрицу

диагональной, потому что действуют на её диагональные блоки вида

.
Вы можете доказать (*)? Значит, всё просто. Если нет, в книге расписано, как.