fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Размерность пространства матриц с нулевым следом
Сообщение30.04.2023, 03:19 


31/05/22
267
Здравствуйте, какова размерность матрицы квадратной n на n с нулевым следом? Очевидно, что это $n^2-n$ плюс размерность нулевого следа длины n. Как вообще посчитать это? Моя мысль такова, что можно рассмотреть строки строки вида (1,-1,0,0...0) (1,0,-1,0...0) и так далее перебрать n-1 случаев. Ну а дальше понять, что нельзя дополнить эту систему ещё на один, иначе можно тогда из этой системы независимых строк вообще все следы(инвариант размерности). Я правильно рассудил? Может кто нибудь предложить более элегантный способ? И да, почему автор акцентирует на том, что Марицы вещественные. Разве не без разницы в этой задаче над каким полем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства матриц с нулевым следом
Сообщение30.04.2023, 05:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Чтобы у матрицы был нулевой след, произвольно задайте все её элементы, кроме одного диагонального, например, $a_{nn}$. Он определится из условия $\operatorname{tr}A=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства матриц с нулевым следом
Сообщение30.04.2023, 21:25 


31/05/22
267
Ну я примерно то же самое сделал и при рассмотрении строк векторных. Разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства матриц с нулевым следом
Сообщение01.05.2023, 22:57 
Аватара пользователя


07/03/06
128
Множество квадратных матриц (вещественных или комплексных) порождает линейное векторное пространство (над соответствующим числовым полем), размерности $n^2$. Требование равенства нулю следа матрицы накладывает одно линейное ограничение, то есть степень свободы уменьшается ровно на единицу (без каких бы то ни было сомнений). Получается гиперплоскость размерности $n^2-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства матриц с нулевым следом
Сообщение02.05.2023, 11:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5937
Новосибирск
Maxim19 в сообщении #1591824 писал(а):
Ну я примерно то же самое

В общем, да. Пространство матриц есть прямая сумма матриц с нулями на диагонали и пространства диагональных матриц с одним линейным ограничением, а потому размерности $n-1$. Итого: $(n^2-n)+(n-1)=n^2-1.$ Проще однако сразу, как сказал svv: имеем одно уравнение с $n^2$ неизвестными.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Skipper


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group