Размерность пространства матриц с нулевым следом

[Maxim19]

Здравствуйте, какова размерность матрицы квадратной n на n с нулевым следом? Очевидно, что это $n^2-n$ плюс размерность нулевого следа длины n. Как вообще посчитать это? Моя мысль такова, что можно рассмотреть строки строки вида (1,-1,0,0...0) (1,0,-1,0...0) и так далее перебрать n-1 случаев. Ну а дальше понять, что нельзя дополнить эту систему ещё на один, иначе можно тогда из этой системы независимых строк вообще все следы(инвариант размерности). Я правильно рассудил? Может кто нибудь предложить более элегантный способ? И да, почему автор акцентирует на том, что Марицы вещественные. Разве не без разницы в этой задаче над каким полем?

[svv]

Чтобы у матрицы был нулевой след, произвольно задайте все её элементы, кроме одного диагонального, например, $a_{nn}$. Он определится из условия $\operatorname{tr}A=0$.

[Maxim19]

Ну я примерно то же самое сделал и при рассмотрении строк векторных. Разве нет?

[Кролик]

Множество квадратных матриц (вещественных или комплексных) порождает линейное векторное пространство (над соответствующим числовым полем), размерности $n^2$. Требование равенства нулю следа матрицы накладывает одно линейное ограничение, то есть степень свободы уменьшается ровно на единицу (без каких бы то ни было сомнений). Получается гиперплоскость размерности $n^2-1$.

[bot]

Maxim19 в сообщении #1591824 писал(а):

Ну я примерно то же самое

В общем, да. Пространство матриц есть прямая сумма матриц с нулями на диагонали и пространства диагональных матриц с одним линейным ограничением, а потому размерности $n-1$. Итого: $(n^2-n)+(n-1)=n^2-1.$ Проще однако сразу, как сказал svv: имеем одно уравнение с $n^2$ неизвестными.