Последовательные числа, делящие сумму соседних

[Mirage_Pick]

Комбинаторная задача: подсчитать количество упорядоченных $n$-ок $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ с целыми $a_i \ge 2,$ таких что в последовательности

$$1a_1a_2\cdots a_n1$$

каждое $a_i$ делит сумму его двух соседей. Например, для $n = 3\colon$

$$14321, 13521, 13231, 12531, 12341.$$

Думал, что уже махровая классика, но на одной из конференций ответ удивил весьма известного специалиста по комбинаторике. Поэтому предлагаю задачу здесь, авось кто-нибудь да поразвлечется.

[Null]

Это числа Каталана.
Можно вычеркнуть большее своих соседей число или вставить между двумя числами их сумму. Это как правильные скобочные последовательности -можно вставить или удалить пару (). Строгое доказательство пока не сочинил.

[Руст]

числители или знаменатели ряда Фарреля удовлетворяют этому условию.