Гравиполе куба вдоль диагонали

[mihail2102]

Уважаемые эксперты.
Получил выражение для гравиполя куба вдоль линии соединяющей центр масс куба и проходящей через середину ребра, для оценки этого выражения на бесконечном удалении.
Выражение получилось достаточно емкое и при численной проверке получается противоречие: видимо где-то присутствует ошибка. Много раз проверял и "патологически" не могу ее найти.
Ниже я подробно изложу материал, для того чтобы если кто-то будет помогать, просто пробежал "свежим" взглядом по выкладкам и обнаружил ошибку.
Так как объем аналитики содержит более 20 тыс. знаков, то материал придется излагать фрагментарно.
Заранее благодарен.
Куб, с ребром$2R$, равномерной плотности $\rho_{k}$, расположен в системе координат так, что центр масс куба совпадает с началом координат, ось $Z$ проходит через середину ребра, диагональная плоскость куба совпадает с плоскостью$YOZ$. $R_{0}$ котрольная точка на оси $OZ$. Гравиполе будем находить вдоль оси $OZ$ за пределами пространства куба.
В данных условиях поле куба, без гравитационной постоянной будет иметь выражение:

$H= 4 \rho_{k} \int\limits_{0}^{\sqrt{2}R} dx \int\limits_{0}^{R} dy \int\limits_{x-\sqrt{2}R}^{-x+\sqrt{2}R}\frac{(R_{0}-z) dz}{(x^2+y^2+(R_{0}-z)^2)^\frac{3}{2}}$

Производная по z от выражения:

$(x^2+y^2+(R_{0}-z)^2)^\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}\frac{2 (R_{0}-z) (-1) dz}{(x^2+y^2+(R_{0}-z)^2)^\frac{3}{2}}$

суть подынтегральное выражение. Следовательно интеграл по z, будет иметь вид:

$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(R_{0}-(-x+\sqrt{2}R))^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(R_{0}-(x-\sqrt{2}R))^2}}$

$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+R_{0}^2-2R_{0} (-x+\sqrt{2}R)+x^2-2x\sqrt{2} R+2 R^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+R_{0}^2-2R_{0} (x-\sqrt{2}R)+x^2-2x\sqrt{2}R+2R^2}}$

это равно:

$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+R_{0}^2+2R_{0}x-2R_{0}\sqrt{2}R+x^2-2x\sqrt{2}R+2R^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+R_{0}^2-2R_{0}x+2R_{0}\sqrt{2}R+x^2-2x\sqrt{2}R+2R^2}}$

это равно:

$\frac{1}{\sqrt{2x^2+R_{0}^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+2R^2+y^2}}-\frac{1}{\sqrt{2x^2+R_{0}^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+2R^2+y^2}}$

Интегрируем по у эти два слагаемые(согласно Двайт 200.01 $\int\limits_{}^{}\frac{dy}{\sqrt{a^2+y^2}}=\ln\parallel y+\sqrt{a^2+y^2}\parallel$где:$a^2=2x^2+R_{0}^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+2R^2$ для первого слагаемого и$ a^2=2x^2+R_{0}^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+2R^2$ для второго слагаемого.)
получим:

$\ln\parallel y+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+R_{0}^2-2\sqrt{2}R_{0}R+2R^2+y^2}\parallel $ $ -\ln\parallel y+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2 +y^2}\parallel $

Подставим пределы интегрирования : $y=R, y=0$, получим:

$\ln\parallel R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2+R^2}\parallel $ $-\ln\parallel \sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}\parallel $

$-\left\lbrace\ln\parallel R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2+R^2}\parallel $$ -\ln\parallel \sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}\parallel \right\rbrace $
Остается интегрирование по переменной х. Так как при больших значениях $R_{0}$ выражение под логарифмом больше нуля, то модули можно заменить на круглые скобки.
Введем обозначения

$I_{11}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}R}\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})dx$

$I_{12}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}R}\ln(\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2})dx$

$I_{21}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}R}\ln(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}) dx$

$I_{22}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}R}\ln(\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2})dx$

В таких обозначениях выражение поля будет иметь вид:

$H=4\rho_{k}(I_{11}-I_{12}-I_{21}+I_{22})$

[DeBill]

mihail2102
Ну, пока вроде все нормально. И интегралы считабельны (по частям, тригонометрическая (а лучше - гиперболическая) подстановка, и универсальная триг. подстановка...). И - совет: не таскайте ужасные константы - обозначьте их буквой (принцип Уфнаровского: "видишь бяку - обозначь!" )

[svv]

mihail2102
Раз Вам доступны численные проверки, попробуйте дихотомически найти ошибку. Пусть начальная формула имеет номер $1$, а конечная $n$. Они не согласуются друг с другом. Тогда возьмите формулу с номером $n/2$ и посчитайте по ней численно. Если она верна, проверьте, что даёт формула с номером $3n/4$, иначе проверьте формулу $n/4$. И так далее. Обратите внимание, что при $n$ формулах число проверок порядка $\log_2 n$, то есть жить можно.

[Geen]

mihail2102 в сообщении #1591502 писал(а):

Много раз проверял и "патологически" не могу ее найти.

У Вас патологическая способность выбирать самый неудобный способ интегрирования....

[мат-ламер]

1. Не теряя общности можно предположить, что $R=1$ .
2. Для проверки каждого шага можно использовать компьютер.
3.

mihail2102 в сообщении #1591502 писал(а):

для оценки этого выражения на бесконечном удалении

Попробовать (хотя бы для контроля) использовать асимптотический подход, то есть разлагать интегрируемую функцию в ряд по малому параметру (то есть по $R\slash R_0$ ).

[mihail2102]

Найдем интеграл $I_{11}$

$I_{11}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}R}\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})dx $

Берем по частям: $u=\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$

$$du=\frac{1}{(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})}\frac{0,5(4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R))dx}{\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}}$$

$dv=dx$ $ v=x$

$I_{11}= x \ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$

$-\int\limits_{}^{}\frac{0,5(4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R))x dx}{(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2)\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}}}$

Для интегрирования перейдем к другим координатам:

$x=t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}$

Подставим в интегральное выражение:

$$\int\limits_{}^{}\frac{0,5(4(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})+2(R_{0}-\sqrt{2}R))(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})dt}{\left\lbrace R+\sqrt{2(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})^2+2(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\right\rbrace K}$$

$K=\sqrt{2(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})^2+2(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}$

В числителе:

$$\left\lbrace4(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})+2(R_{0}-\sqrt{2}R)\right\rbrace(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})=4(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})^2+2t(R_{0}-\sqrt{2}R)-(R_{0}-\sqrt{2}R)^2$$

$$= 4t^2-4t(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2+2t(R_{0}-\sqrt{2}R)-(R_{0}-\sqrt{2}R)^2=4t^2-2t(R_{0}-\sqrt{2}R)$$

В знаменателе под корнем:

$$2\left\lbrace t^2-t(R_{0}-\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}{4}\right\rbrace+2t(R_{0}-\sqrt{2}R)-(R_{0}-\sqrt{2}R)^2-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2$$

$$=2t^2-2t(R_{0}-\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}{2}+2t(R_{0}-\sqrt{2}R)-(R_{0}-\sqrt{2}R)^2-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2$$

$$=2t^2-\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}{2}-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2=2t^2-\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R-R^2-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2$$

$=2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2$

Искомый интеграл в новых переменных будет иметь вид:

$$\int\limits_{}^{}\frac{0,5\left\lbrace4t^2-2t(R_{0}-\sqrt{2}R)\right\rbrace dt}{(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})(\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})}$$

$$=\int\limits_{}^{}\frac{0,5\ 4t^2 dt}{(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}) (\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})}$$-(R_{0}-\sqrt{2}R)\int\limits_{}^{}\frac{0,5\ 2t dt}{(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})(\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})}$$
Введем новую переменную:

$$m=(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})=m^2-2Rm+R^2=2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2$$

$t=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}$

$dm=\frac{0,5 \ 4t dt}{\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}}$

В новой переменной искомый интеграл будет иметь вид:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}}{m}dm-\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)}{2}\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m}$$

Это табличные интегралы: (Двайт 380.311)

$$\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{am^2+bm+c}}{m}dm=\sqrt{am^2+bm+c}+ \frac{b}{2}\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{am^2+bm+c}}+c\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m \sqrt{am^2+bm+c}}$$

$a=1 \ $

$b=-2R \ $

$c=-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2$

Второе и третье слагаемые также табличные интегралы (Двайт380.001,380.111)

$$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{am^2+bm+c}}=\frac{1}{a^\frac{1}{2}}\ln\parallel 2\sqrt{a(am^2+bm+c)}+2am+b\parallel$$

$$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m \sqrt{am^2+bm+c}}=\frac{1}{(-c)^\frac{1}{2}}\arcsin\frac{bm+2c}{\parallel m \parallel (b^2-4ac)^\frac{1}{2}}$$

В результате получим интеграл по переменной $ m $ :
$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace\sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}-R\ln\parallel 2\sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}+2m-2R\parallel \right\rbrace -\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2Rm-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{\parallel m \parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln m $
Далее возвращаемся к переменным $t$,$x$

[mihail2102]

Продолжим:результатом интегрирования по $m$стало выражение:
$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}-R \ln \parallel 2\sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}+2m-2R\parallel \right\rbrace$
$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2Rm-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{\parallel m \parallel(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2} \ln m$ \ (1)
$m=(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})$
Преобразуем в переменную $t$ выражение под корнем:
$\left\lbrace R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}\right\rbrace^2-2R\left\lbrace R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}\right\rbrace+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2$
$=R^2+2R\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}+2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2-2R^2-2R\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}+\sqrt{2}R_{0}-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2=2t^2$
Подставим в выражение (1) получим :
$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{2}t -R\ln\parallel 2\sqrt{2} t +2\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}}{2}+2R^2}\parallel \right\rbrace$
$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{\parallel R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}\parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}}{2}\ln(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}) \ (2)$$
В выражении (2) преобразуем в Х подкоренные выражения:так как $t=x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2} \ (3)$
$\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}=\sqrt{2(x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}}{2})^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}=\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}{2}-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}$
$=\sqrt{2x^2=2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+\frac{R_{0}^2}{2}-\sqrt{2}R_{0}R+R^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}$
$=\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2} \ (4)$
Подставим (3),(4) в выражение (2):
$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{2}(x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})-R\ln\parallel 2\sqrt{2}(x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})+2\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\parallel \right\rbrace$

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{\parallel R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$$

$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$
При очень больших $R_{0}$ модули выражений можно опустить в результате окончательное выражение для $I_{11}$ будет иметь вид:
$I_{11}=x\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})-x-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}+\frac{R}{\sqrt{2}}\ln\left\lbrace 2\sqrt{2}x+\sqrt{2}(R_{0}-\sqrt{2}R)+2\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\right\rbrace$

$$+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$$

$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$

[Red_Herring]

mihail2102 в сообщении #1591502 писал(а):

для оценки этого выражения на бесконечном удалении.

Так что тре буется? Подсчитать выражение или найти его асимптотику? Если найти асимптотику, то сколько членов?

[mihail2102]

Надо найти : $ \ \lim\limits_{R_{0}}^{\infty}H$

[svv]

$\lim\limits_{R_{0}\to\infty}H$ — так всегда пишут.

[Евгений Машеров]

Geen в сообщении #1591531 писал(а):

У Вас патологическая способность выбирать самый неудобный способ интегрирования....

Боюсь, что удобные способы отчего-то упорно воспроизводят тривиальный ответ из учебника, на неудобные вся надежда

[mihail2102]

А ответ не нужен, он известен. Задача темы найти ошибку в конкретной последовательности действий конкретной задачи, которая приводит к неправильному результату. Ведь именно и для этого предназначен форум "помогите разобраться". И я подозреваю, что такие ошибки делаю не я один. В этом полезность разбора"полетов".

[Geen]

mihail2102 в сообщении #1591891 писал(а):

Ведь именно и для этого предназначен форум "помогите разобраться".

Нет, не для этого. Вы неправильно понимаете слово "разобраться". Сюда не входит поиск одного неправильного символа из 20 тыс.

[Евгений Машеров]

И, кстати, ищется потенциал на продолжении диагонали куба, или всё же "вдоль линии соединяющей центр масс куба и проходящей через середину ребра"?

[mihail2102]

Имеется в виду не главная диагональ куба, а линия соединяющая середины противоположных ребер куба и проходящая через центр масс куба.