Точки пересечения поверхности и прямой

[KPEHgEJIb]

Найти точки пересечения поверхности и прямой:

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}-\frac{z^2}{4}=1$
$\frac{x}{4}=\frac{y}{-3}=\frac{z+2}{4}$

Поскольку это гиперболоид, то точек будет $2$. Единственное что приходит в голову - спроецировать его на ось $x$ или $y$, чтобы избавиться от одной переменной. Но решая квадратные уравнения корни не получается. Я на правильном пути?

[вздымщик Цыпа]

KPEHgEJIb в сообщении #159029 писал(а):

Единственное что приходит в голову - спроецировать его на ось $x$ или $y$, чтобы избавиться от одной переменной. Но решая квадратные уравнения корни не получается. Я на правильном пути?

Лучше параметризуйте прямую, подставьте в уравнение гиперболоида и решите квадратное уравнение относительно параметра.

[Алексей К.]

Вы спросили как параметризовать (или мне послышалось)? Например, так: $\frac{x}{4}=\frac{y}{-3}=\frac{z+2}{4}$ \Huge $=t$, откуда...

[вздымщик Цыпа]

вздымщик Цыпа в сообщении #159031 писал(а):

Вы спросили как параметризовать (или мне послышалось)? Например, так:

Ну вот. Никакой интриги не осталось

[KPEHgEJIb]

Алексей К.,

$x=4t$, $y=-3t$, $z=4t-2$

А дискриминант то $0$ вышел. Выходит что прямая только касается гиперболоида. Точка касания получилась $M(4;-3;2)$. Вроде верно Всем спасибо.

[Yu_K]

KPEHgEJIb писал(а):

Алексей К.,

$x=4t$, $y=-3t$, $z=4t-2$

А дискриминант то $0$ вышел. Выходит что прямая только касается гиперболоида. Точка касания получилась $M(4;-3;2)$. Вроде верно Всем спасибо.

- не обязательно касается - возможны другие варианты расположения для случая одного решения.

[ewert]

Нулевой детерминант -- предельный случай положительного.

[Алексей К.]

вздымщик Цыпа в сообщении #159038 писал(а):

Ну вот. Никакой интриги не осталось

Виноват... Выполз из больнички, типа соскучился, очень хотелось чего-то умного написать...

Добавлено спустя 9 минут 37 секунд:

KPEHgEJIb в сообщении #159043 писал(а):

Выходит что прямая только касается гиперболоида.

За этой фразой может последовать допрос: что, действительно других вариантов нет? С эллипсоидом вроде как очевидно, с гиперболоидом --- не очень. А параболоид совсем легко проткнуть так, чтобы была только одна общая точка...

[вздымщик Цыпа]

Алексей К. в сообщении #159138 писал(а):

За этой фразой может последовать допрос: что, действительно других вариантов нет? С эллипсоидом вроде как очевидно, с гиперболоидом --- не очень.

С гиперболидом — тоже. Посмотрите отдельно на однополостный и двуполостный гиперболоиды, на их асимптотический конус и на возможные расположения прямой относительно него.

Алексей К. в сообщении #159138 писал(а):

А параболоид совсем легко проткнуть так, чтобы была только одна общая точка...

Дык, только соосной, но тогда там будет не квадратное уравнение, а линейное (второй корень уедет на «бесконечность»).

[TOTAL]

Если одно решение у квадратного уравнения, то только касается.

[Алексей К.]

Собственно, я чисто предложил автору поразмышлять об этом на досуге, если есть досуг и желание...