Эквивалентные преобразования

[Dmitry1990]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане!
Возникли трудности при решении задачи по анализу цепи постоянного тока в установившемся режиме.
Условие задачи: Определить ток в сопротивлении R4 с помощью эквивалентных преобразований. Ток должен получиться равным $I_4 = -0,577$ А.

Исходные данные:
$E_1 = 16$ В, $E_2 = 8$ В, $E_3 = 9$ В, $J = 0,2$ А, $R_1 = 2$ Ом, $R_2 = R_3 = 6 $ Ом, $R_4 = R_6 = 5$ Ом, $R_5 = 10$ Ом.

Исходная схема:


Подскажите, пожалуйста, где допустил ошибку? Ток $I_4 $не получается равным $-0,577$ А.

Ниже привожу решение:
1 этап преобразований:


$E_{4J} = J \cdot R_{4} = 1$ В
$E_{3J} = J \cdot R_{3} = 1,2$ В


2 этап преобразований:


$R_{21} = \frac{R_{2} \cdot R_{1} }{R_{2} + R_{1} + R_{5}}= 0,667$ Ом

$R_{25} = \frac{R_{2} \cdot R_{5} }{R_{2} + R_{1} + R_{5}}= 3,333$ Ом

$R_{51} = \frac{R_{5} \cdot R_{1} }{R_{2} + R_{1} + R_{5}}= 1,111$ Ом

$E_{25} = \frac{E_{1} \cdot R_{2} + E_{2} \cdot(R_{1}+ R_{5})}{R_{2} + R_{1} + R_{5}}= 10,667$ В

$E_{51} = \frac{E_{1} \cdot (R_{2}+ R_{5})+E_{2} \cdot R_{1}}{R_{2} + R_{1} + R_{5}}= 15,111$ В


3 этап преобразований:


$R_{321} = R_{21} + R_{3}= 6,667$ Ом

$R_{625} = R_{6} + R_{25}= 8,333$ Ом

$E_{33J} = E_{3} + E_{3J}= 10,2$ В


4 этап преобразований:


$R_{625321} = \frac{R_{625}\cdot R_{321} }{R_{625}+ R_{321}}=3,704$ Ом

$E_{625321} = \frac{E_{25} \cdot \frac{1}{R_{625}} -E_{33J}\cdot \frac{1}{R_{321}}}{\frac{1}{R_{625}}+\frac{1}{R_{321}}}= -0,926$ В


5 этап преобразований:


$E_{4J62532151} = E_{4J}- E_{625321}-E_{51}=-13,185$ В

$R_{62532151} = R_{625321}+ R_{51}=4,815$ Ом

$I_{4} = \frac{E_{4J62532151}}{R_{4}+R_{62532151}}=-1,343$ А

[Ende]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать, создаются в этом разделе.

[Dmitry1990]

Извиняюсь, верная схема 1 этапа преобразований:

[EUgeneUS]

Dmitry1990
Прокомментируйте каждый этап преобразований. Что делается на каждом этапе?

[Dmitry1990]

EUgeneUS в сообщении #1590780 писал(а):

Dmitry1990
Прокомментируйте каждый этап преобразований. Что делается на каждом этапе?

1 этап: преобразование источника тока в ЭДС
2 этап: преобразование «треугольник-звезда»
3 этап: определение эквивалентных сопротивлений и ЭДС, последовательно соединенных элементов
4 этап: определение эквивалентных сопротивлений и ЭДС, параллельно соединенных элементов
5 этап: определение эквивалентных сопротивлений и ЭДС, последовательно соединенных элементов и нахождение искомого тока.

[LLeonid3]

Dmitry1990
Полагаю, что второго этапа (треугольник / звезда) необходимо и достаточно для решения вашей задачи. Затем уравнения Кирхгофа для контуров и точек вполне определят и токи и напряжения.

[Dmitry1990]

LLeonid3 в сообщении #1590788 писал(а):

Dmitry1990
Полагаю, что второго этапа (треугольник / звезда) необходимо и достаточно для решения вашей задачи. Затем уравнения Кирхгофа для контуров и точек вполне определят и токи и напряжения.

Согласен с Вами, но по заданию нужно найти ток $I_4$ именно с помощью эквивалентных преобразований, преобразовав схему до одного контура. Также по заданию уже определил токи во всех ветвях с помощью уравнений Кирхгофа, по методам контурных токов и узловых потенциалов - токи по всем методам сходятся. Возникла трудность только с эквивалентными преобразованиями.

[EUgeneUS]

Dmitry1990
Объясните подробнее, как Вы делаете первое преобразование.

ИМХО, удобнее источник тока объединять с цепью $E_1, R_1$.

[Dmitry1990]

EUgeneUS в сообщении #1590796 писал(а):

Dmitry1990
Объясните подробнее, как Вы делаете первое преобразование.

ИМХО, удобнее источник тока объединять с цепью $E_1, R_1$.

Заменяю источник тока на ЭДС параллельной ветви, т.е заменяю источник на две ЭДС. Таким образом избавляюсь от одной ветви.
$E_{4J} = J \cdot R_{4} = 1$ В
$E_{3J} = J \cdot R_{3} = 1,2$ В

По идее, да, можно было объединить с ветвью которую Вы указали.

[EUgeneUS]

Далее. Второй этап, преобразование треугольник-звезда.

Вы преобразуете треугольник, в которого в двух плечах есть источник ЭДС.
Должна получиться звезда, в которой в трех плечах есть источник ЭДС, а у Вас только в двух.
Опять ошибка.

В четвертом этапе ошибка со знаком в формуле для источника ЭДС.

-- 23.04.2023, 17:03 --

Dmitry1990 в сообщении #1590797 писал(а):

Заменяю источник тока на ЭДС параллельной ветви, т.е на заменяю на две ЭДС. Таким образом избавляюсь от одной ветви.

Это-то я понял, а вот как Вы сделали - не понял. Нужны подробности.

-- 23.04.2023, 17:09 --

По первому преобразованию.
Этим преобразованием Вы изменили ток на параллельной ветви. Вся остальная схема, да, работает, как раньше.
UPD: Ан-нет. Не работает вся остальная схема, как раньше. Еще потенциал точки, где подключается $R_6$, уплывёт. Почему Вы решили, что это эквивалентное преобразование?
Но именно в той ветви и находится $R_4$, ток через который и нужно найти, а Вы его поменяли. Вот и найдёте, после исправления остальных ошибок, измененный ток.

[Dmitry1990]

EUgeneUS в сообщении #1590798 писал(а):

Далее. Второй этап, преобразование треугольник-звезда.

Вы преобразуете треугольник, в которого в двух плечах есть источник ЭДС.
Должна получиться звезда, в которой в трех плечах есть источник ЭДС, а у Вас только в двух.
Опять ошибка.

В четвертом этапе ошибка со знаком в формуле для источника ЭДС.

-- 23.04.2023, 17:03 --

Dmitry1990 в сообщении #1590797 писал(а):

Заменяю источник тока на ЭДС параллельной ветви, т.е на заменяю на две ЭДС. Таким образом избавляюсь от одной ветви.

Это-то я понял, а вот как Вы сделали - не понял. Нужны подробности.

-- 23.04.2023, 17:09 --

По первому преобразованию.
Этим преобразованием Вы изменили ток на параллельной ветви. Вся остальная схема, да, работает, как раньше.
UPD: Ан-нет. Не работает вся остальная схема, как раньше. Еще потенциал точки, где подключается $R_6$, уплывёт. Почему Вы решили, что это эквивалентное преобразование?
Но именно в той ветви и находится $R_4$, ток через который и нужно найти, а Вы его поменяли. Вот и найдёте, после исправления остальных ошибок, измененный ток.

Дело в том, что пример преобразования "треугольник-звезда" с двумя ЭДС увидел на этом изображении (нашел в интернете). Здесь в треугольнике две ЭДС, в полученной после преобразования звезде тоже две ЭДС:


Я вас понял, спасибо! Тогда первый этап преобразований понятен:

$E_{4} = J \cdot R_{1} = 0,4$ В
$E_{5} = E_{1} + E_{4} = 16,4$ В

Второй этап:

$R_{21} = \frac{R_{2} \cdot R_{1} }{R_{2} + R_{1} + R_{5}}= 0,667$ Ом

$R_{25} = \frac{R_{2} \cdot R_{5} }{R_{2} + R_{1} + R_{5}}= 3,333$ Ом

$R_{51} = \frac{R_{5} \cdot R_{1} }{R_{2} + R_{1} + R_{5}}= 1,111$ Ом

$E_{25} = \frac{E_{5} \cdot R_{2} + E_{2} \cdot(R_{1}+ R_{5})}{R_{2} + R_{1} + R_{5}}= 10,667$ В

$E_{54} = \frac{E_{5} \cdot (R_{2}+ R_{5})+E_{2} \cdot R_{1}}{R_{2} + R_{1} + R_{5}}= 15,111$ В

$E_{24} = ?$ В

Не пойму как тогда будет рассчитываться $E_{24}$. Подскажите, пожалуйста.

[EUgeneUS]

Dmitry1990 в сообщении #1590824 писал(а):

$E_{4} = J \cdot R_{1} = 0,4$ В
$E_{5} = E_{1} + E_{4} = 16,4$ В

<del> В этот раз я запутался со знаками.
У Вас на этом шаге сейчас верно.

-- 24.04.2023, 07:33 --

По преобразованию треугольник-звезда с источниками ЭДС.

1. Я брал формулы из англо-вики.
2. Из тех формул следует, что если есть два источника в двух плечах, то
а) два источника в друх плечах появляются обязательно.
б) источник в третьем плече есть в общем случае, но его может не быть при некоторых отношениях параметров.

3. Однако! Определение значений источников ЭДС в эквивалетной схеме не является детерминированным. На примере.
Пусть есть треугольник с одинаковыми сопростивлениями и одинаковыми источниками ЭДС в плечах (2). Он может быть пересчитан в звезду. При этом в звезде нет источников ЭДС. Эта звезда может быть пересчитана обратно в треугольник, но уже БЕЗ источников ЭДС (2). То есть треугольники (1) и (2) являются эквивалетными. То есть имеется некий произвол при определении значений источников ЭДС в эквивалентной схеме.

4. Поэтому вполне возможно, что формулы для пересчета треугольника с двумя источниками ЭДС в звезду с двумя источниками ЭДС, которыми Вы пользуетесь, могут быть верными. Я не проверял это. Если будете пользоваться формулами с англовики (три источника в три источника), то нужно пересчитать все источники. А не только третий.

[Dmitry1990]

EUgeneUS в сообщении #1590859 писал(а):

Dmitry1990 в сообщении #1590824 писал(а):

$E_{4} = J \cdot R_{1} = 0,4$ В
$E_{5} = E_{1} + E_{4} = 16,4$ В

<del> В этот раз я запутался со знаками.
У Вас на этом шаге сейчас верно.

-- 24.04.2023, 07:33 --

По преобразованию треугольник-звезда с источниками ЭДС.

1. Я брал формулы из англо-вики.
2. Из тех формул следует, что если есть два источника в двух плечах, то
а) два источника в друх плечах появляются обязательно.
б) источник в третьем плече есть в общем случае, но его может не быть при некоторых отношениях параметров.

3. Однако! Определение значений источников ЭДС в эквивалетной схеме не является детерминированным. На примере.
Пусть есть треугольник с одинаковыми сопростивлениями и одинаковыми источниками ЭДС в плечах (2). Он может быть пересчитан в звезду. При этом в звезде нет источников ЭДС. Эта звезда может быть пересчитана обратно в треугольник, но уже БЕЗ источников ЭДС (2). То есть треугольники (1) и (2) являются эквивалетными. То есть имеется некий произвол при определении значений источников ЭДС в эквивалентной схеме.

4. Поэтому вполне возможно, что формулы для пересчета треугольника с двумя источниками ЭДС в звезду с двумя источниками ЭДС, которыми Вы пользуетесь, могут быть верными. Я не проверял это. Если будете пользоваться формулами с англовики (три источника в три источника), то нужно пересчитать все источники. А не только третий.

Огромное спасибо Вам за помощь! Все-таки ошибка была на первом этапе. Наконец-то получил верное решение, искомый ток сошелся с другими методами. В итоге, первый этап оставил как в предыдущем моём сообщении (т.е источник тока объединил с ветвью $E_1$, $R_1$ , на втором этапе ("треугольник-звезда") оставил два источника ЭДС $E_{24}$ и $E_{54}$. Далее всё получилось. Еще раз благодарю!

[EUgeneUS]

Dmitry1990 в сообщении #1590932 писал(а):

Все-таки ошибка была на первом этапе.

С учётом этой ошибки, хотелось бы сказать следующее.
Применяя эквивалентные преобразования нужно чётко понимать, в каком смысле они эквивалентные.

При таких преобразованиях одна часть схемы заменяется (назовём её "часть А") на что-то другое, эквивалентное; а другая часть остаётся неизменной (назовём её "часть Б").
Так вот, такие такие преобразования эквивалентны со стороны внешней части, "части Б". Именно в этой части схемы ничего не меняется при таких преобразованиях.
А внутренняя часть, "часть А" при таких преобразованиях может поменяться очень сильно, и обязательно поменяется.

В задаче был вопрос относительно режима резистора $R_4$, вот этот резистор должен быть всегда во внешней части при преобразованиях. Вообще говоря, схема должна быть представлена в виде:
а) некого активного двухполюсника, который и преобразуем.
б) и его нагрузки в виде резистора $R_4$. Который в преобразованиях участвовать не должен.

Вы же на первом этапе "зацепили" $R_4$ в преобразование, а потом считали что-то совсем другое, не то, что спрашивалось в задаче.