Равномерная сходимость ряда на огр. замкн. множестве

[artempalkin]

Доказать, что если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|a_n|}$ сходится, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{x-a_n}$ сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом ограниченном множестве, не содержащем точек $x=a_n$, $n\in\matnbb{N}$.

Я решил, вроде все нормально, но можно ли подобрать неравенство покрасивей? либо вообще как-то по-другому

Заметим для начала, что для $a,b>0$ и $a\geqslant 2b$ будет верно неравенство $\frac{1}{a-b}\leqslant\frac{1}{a}+\frac{2b}{a^2}$, что легко проверить непосредственным преобразованием (вот с этим неравенством у меня вопрос. Я его вытащил из обычного разложения $\frac{1}{a-b}=\frac{1}{a(1-b/a)}=\frac 1a(1+b/a+(b/a)^2+...)$. И по идее если второе слагаемое, скажем, удвоить, то оно превзойдет весь остаток ряда. Так и получается, но все же выглядит немного неорганично этот ход...

Далее, поскольку исследуемое множество (скажем, $X$) замкнуто и ограничено, существует такая точка $x_0\in X$, что $x_0=\sup\limits_{x\in X}|x|$.

Кроме того, т.к. ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|a_n|}$ сходится, то $\frac{1}{|a_n|}\to0$, а значит $a_n\to\infty$.

Далее, заметим, что если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|a_n|}$ сходится, то сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n^2}$.

Оценим модуль члена исследуемого ряда, считая, что начинаем с такого номера, когда $|a_n|\geqslant 2x_0$:

$\left|\frac{1}{x-a_n}\right|\leqslant\frac{1}{|a_n|-|x|}\leqslant\frac{1}{|a_n|}+\frac{2x}{|a_n|^2}\leqslant\frac{1}{|a_n|}+\frac{2x_0}{a_n^2}$

Ряд, составленный из членов справа, сходится, а значит исходный ряд сходится абсолютно и равномерно.

[Null]

Асимптотический признак. Нужно еще доказать что $|a_n|\to+\infty$

[artempalkin]

Null в сообщении #1591110 писал(а):

Нужно еще доказать что $|a_n|\to+\infty$

Ну тут как бы особо нечего доказывать, это следует из того, что

artempalkin в сообщении #1591062 писал(а):

$\frac{1}{|a_n|}\to0$

А что за асимптотический признак для равномерной сходимости?

[RIP]

Да просто $\frac{1}{\lvert x-a_n\rvert}\leqslant\frac{2}{\lvert a_n\rvert}$ при всех достаточно больших $n$ равномерно по $x$ (если $\lvert x\rvert\leqslant C\leqslant\lvert a_n\rvert/2$; замкнутость не нужна).

[artempalkin]

RIP в сообщении #1591132 писал(а):

Да просто $\frac{1}{\lvert x-a_n\rvert}\leqslant\frac{2}{\lvert a_n\rvert}$ при всех достаточно больших $n$ равномерно по $x$ (если $\lvert x\rvert\leqslant C\leqslant\lvert a_n\rvert/2$; замкнутость не нужна).

Да, согласен, так проще. И замкнутость не нужна совершенно. Спасибо!