Пусть

— число способов расставить скобки для

элементов.
Рассмотрим для примера

элементов

. Скобки можно расставить многими способами, например,

.
Выражение

не определяет, какая из операций

,

выполняется раньше. Но всегда определено однозначно, какая операция совершается
последней — в данном случае это операция с операндами

и

. Пусть известно, что в левый и правый операнды последней операции входят соответственно

первых и

последних элементов (в нашем примере

и

). Тогда в левом операнде скобки можно расставить

способами, а в правом

способами. Всего

способов. Это нужно просуммировать по всем возможным значениям

от

до

. Получаем рекуррентную формулу


Программа, составленная по этой формуле, выдаёт последовательность

Эту последовательность ищем на сайте
OEIS и
находим — это
A000108. Оказывается, это
числа Каталана, которые имеют много комбинаторных интерпретаций, в том числе скобочную.