Помогите разобраться с 648 из Демидовича

[Verbery]

Всем привет! Разбираюсь с о-символикой, так как когда-то упустил этот момент. Подскажите. пожалуйста, что я делаю не так?

Пусть $x \to \infty$ и $n > 0$. Показать, что:
a) $CO(x^n)=O(x^n)$ при $C \neq 0 $
Решаю так. $O(x^n)$ это такая функция $g(x)$, что
$|g(x)| \leq C_1|x^n|$
Теперь домножим на $C_2$
$C_2 |g(x)| \leq C_1 C_2|x^n|$
В итоге получаем, что при константе $C = C_1 C_2$ неравенство будет выполняться

б) $O(x^n)+O(x^m)=O(x^n)$ при $n < m$
Решаю так. Подставим в левой части верхние границы функций o-больших:
$|C_1 x^n + C_2 x^m| \leq C_3 |x^n|$
$C_1$, $C_2$, $C_3$ положительные, поэтому можно раскрыть так:
$C_1 + C_2 |x^{m-n}| \leq C_3$, так как $x^{m-n}$ - дробное, то так же можем подобрать $C_3 = C_1 + C_2$, чтобы неравенство было выполнено

Подскажите на сколько верны такие рассуждения?

[ElfDante]

Здравствуйте!
Под буквой "а" рассуждение верное, если не считать некоторых небольших некорректностей в речи)
Под буквой "б", я полагаю, Вы ошиблись, написав, что m>n. Видимо, наоборот. Но решение, насколько я понимаю, неверное. Левая часть первого неравенства непонятно откуда взялась. Воспользуйтесь лучше неравенством треугольника: $|x+y| \leqslant |x| + |y|$.

[ewert]

Весьма существенный дефект в обоих доказательствах: не хватает оговорок о том, что неравенства выполняются при всех достаточно больших иксах. И если в первом случае это не имеет значения, то во втором уже принципиально.

Ну и маленький нюанс: в первом случае условие $C\neq0$ не нужно.

[Verbery]

ElfDante в сообщении #1588901 писал(а):

Воспользуйтесь лучше неравенством треугольника: $|x+y| \leqslant |x| + |y|$.

Вот такое рассуждение будет лучше?
В б) нужно доказать неравенство: $|g_1(x) + g_2(x)| \leq C x^n$, где $g_1(x) = O(x^n)$, а $g_2(x) = O(x^m)$
Воспользуемся неравенством треугольника: $|g_1(x) + g_2(x)| \leq |g_1(x)| + |g_2(x)| \leq C_1 |x^n| + C_2 |x^m|$
Возьмём самую правую сумму из предыдущего неравенства и посмотрим на неравенство: $C_1 |x^n| + C_2 |x^m| \leq C_3 |x^n|$, разделим обе части на $x^n$ и получим $C_1 + C_2 |x^{m-n}| \leq C_3$, и так как $x \to \infty$, то $x^{m-n} \to 0$ и можно заключить, что при $C_3 = C_1$ неравенство будет выполнено